【模板】Johnson 全源最短路

负环 最短路

题面

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思考

首先来区分一下$Dijkstra$和$SPFA$
$Dij$开局不标$vis=1$。
$Dij$用某点更新的条件是$vis=0$。
$SPFA$中的$vis$表示点是否在队列中。

//SPFA
    queue<int>Q;
    memset(d,63,sizeof(d));d[0]=0;vis[0]=1;Q.push(0);
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();Q.pop();
        for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt)
        {
          int v=e[i].to;
          if(d[v]>d[u]+e[i].w)
          {
            a[v]=a[u]+1;
            if(a[v]>n) return 1;//a代表最短路径所含点数，显然不能超过n
            d[v]=d[u]+e[i].w;
            if(!vis[v]) vis[v]=1,Q.push(v);
          }
        }
        vis[u]=0;//
    }

//Dijkstra
priority_queue<node>Q;
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=1e9,vis[i]=0;
    Q.push((node){s,0});dis[s]=0;
    while(!Q.empty())
    {
      int u=Q.top().u;Q.pop();
      if(vis[u]) continue;vis[u]=1;//
      for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt)
      {
        int v=e[i].to;
        if(dis[v]>dis[u]+e[i].w)
        {
            dis[v]=dis[u]+e[i].w;
            if(!vis[v]) Q.push((node){v,dis[v]});
        }
      }
    }

然后$Dij$不能用于负权图，故只能把图修成正权的。
怎么办？利用$dis[v]<=dis[u]+e[i].w$，我们可以把边权改成$e[i].w+dis[u]-dis[v]$，而这个一定正。
走任意一条路后，可以发现真实距离就是$\sum dis+dis[v]-dis[u]$（$v$为终点，$u$为起点）。因为中途点的$dis$一正一负抵消掉了。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=3e3+3;
struct Edge{int to,nxt,w;}e[N<<2];
struct node{int u,dis;bool operator < (const node &o) const{return dis>o.dis;}};
int n,m,h[N],a[N],cnt;
ll dis[N],d[N],sum;
bool vis[N];
int gi()
{
    int x=0,t=1;
    char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
    if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
void add(int u,int v,int w){e[++cnt]=(Edge){v,h[u],w};h[u]=cnt;}
bool SPFA()
{
    queue<int>Q;
    memset(d,63,sizeof(d));d[0]=0;vis[0]=1;Q.push(0);
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();Q.pop();
        for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt)
        {
          int v=e[i].to;
          if(d[v]>d[u]+e[i].w)
          {
            a[v]=a[u]+1;
            if(a[v]>n) return 1;
            d[v]=d[u]+e[i].w;
            if(!vis[v]) vis[v]=1,Q.push(v);
          }
        }
        vis[u]=0;
    }
    return 0;
}
void Dijstra(int s)
{
    priority_queue<node>Q;
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=1e9,vis[i]=0;
    Q.push((node){s,0});dis[s]=0;
    while(!Q.empty())
    {
      int u=Q.top().u;Q.pop();
      if(vis[u]) continue;vis[u]=1;
      for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt)
      {
        int v=e[i].to;
        if(dis[v]>dis[u]+e[i].w)
        {
            dis[v]=dis[u]+e[i].w;
            if(!vis[v]) Q.push((node){v,dis[v]});
        }
      }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) 
      if(dis[i]==1e9) sum+=i*dis[i];
      else sum+=i*(dis[i]+d[i]-d[s]);
    printf("%lld\n",sum);sum=0;
}
int main()
{
    n=gi();m=gi();
    while(m--)
    {
        int u=gi(),v=gi(),w=gi();
        add(u,v,w);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) add(0,i,0);
    if(SPFA()) {puts("-1");return 0;}
    for(int u=1;u<=n;u++)
      for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt)
        e[i].w+=(d[u]-d[e[i].to]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      Dijstra(i);
    return 0;
}