@ysner
2018-07-29T20:11:03.000000Z
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DP
计数
有个物品和台机器,第台机器会为第和个物品染色。设有个方案完成全部染色需动用台机器,则询问。
一道有一定思考难度的计数题。
我一开始想的是,可以枚举,且染色方案数决定于前台机器和后台机器的排列方案。
但这样会出现重复计数,因方案中会包含到染色提前完成的情况。
或许可以用容斥?然而我手玩过不了样例。
于是换一种思路:
设最多台机器即完成染色的方案数为。(等价于“最多次完成染色”)
则恰好台的方案数为。
如何计算?
设表示过程中动用机器、编号间隔为的次数,表示间隔为的次数。
显然第和台(最后一台)机器必须动用。
则有。
可解得。
而次动用中,间隔可任意放置,则对答案有的贡献。
然后,摆放、间隔生成的排列又可打乱顺序,有的贡献。
后面还剩台机器可打乱顺序,可产生的贡献。
综上,
于是统计答案即可。预处理逆元和阶乘后复杂度为。
Update:记得线性求逆元公式
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int mod=1e9+7,N=1e6+100;
ll n,x,jc[N],p,ans,Need,f[N],inv[N];
il ll gi()
{
re ll x=0,t=1;
re char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
il ll C(re ll x,re ll y)
{
return jc[y]*inv[y-x]%mod*inv[x]%mod;
}
int main()
{
n=gi();Need=(n+1)/2;
jc[0]=inv[0]=inv[1]=1;
fp(i,2,n) inv[i]=(mod-mod/i*inv[mod%i]%mod)%mod;//printf("%lld ",inv[i]);
fp(i,1,n) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
fp(i,2,n) inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%mod;
fp(i,Need,n-1) f[i]=C(n-i-1,i-1)*jc[i]%mod*jc[n-i-1]%mod;
fq(i,n-1,Need) f[i]=(f[i]-f[i-1]+mod)%mod;
fp(i,Need,n-1) (ans+=(f[i]*i%mod))%=mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}