[noip模拟赛]bird

线段树 DP 线段树优化DP 自治领

题面

$R$是一个猎人,他准备打猎,他站在平面直角坐标系的$(0,0)$位置。
天上有$n$只小鸟从右往左以$1m/s$的速度水平飞过,每只小鸟都是一条水平方向的线段。
由于$R$枪法不太好,他只会竖直向上开枪,此时与$y$轴有交(包括端点)的小鸟都会被击中并成为$R$的猎物。
$R$在开完一枪后需要$k$秒来装弹,在此期间不能再次开枪。
你需要求出$R$最多能得到多少只猎物。

• $n\leq10^5,\max\{|l|,|r|\}\leq5*10^5$

解析

很容易能想到一个$DP$方程式：
设$f_i$表示当时间进行到时刻$i$，并且这时打一枪，最多总共获得多少猎物。
设$s_i$表示在时间$i$打一枪能获得多少收益。
设$chongfu(i,j)$表示$s_i$与$f_j$中包含猎物的重复个数。
则

看起来那个$chongfu(i,j)$相当难求，因为每转移一次，都要维护转移到$f_i$的猎物，还要去重，复杂度很危险。

其实不妨这么想，可以用差分$O(n)$求出所有$s_j$。同时出现在$j$、$i$的线段，就是在$j$中出现后，到$i$时没有被删除的线段。

我们可以在更新$f_j$的值时，在线段树上将其更新为：$f_j-$在$j$出的边，这样每当一条线段终结时，在线段树上给这条线段区间加一即可。
这样在到时刻$i$时，$f_j$的值就是$f_j-chongfu(i,j)$。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
#define pb(a) push_back(a)
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=5e5+100;
struct dat
{
  int l,r;
  il bool operator < (const dat &o) const
  {
    if(r==o.r) return l<o.l;
    return r<o.r;
  }
}a[N];
int n,m,k,tot,cha[N],in[N],mx,p=1,ans,now,t[N<<2],tag[N<<2],f[N];
il int gi()
{
  re int x=0,t=1;
  re char ch=getchar();
  while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
  if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*t;
}
il void upd(re int x){t[x]=max(t[ls],t[rs]);}
il void cover(re int x,re int w){t[x]+=w;tag[x]+=w;}
il void Pushdown(re int x){cover(ls,tag[x]);cover(rs,tag[x]);tag[x]=0;}
il void Modify(re int x,re int l,re int r,re int pos,re int w)
{
  if(l==r) {t[x]=w;return;}
  re int mid=l+r>>1;
  if(tag[x]) Pushdown(x);
  if(pos<=mid) Modify(ls,l,mid,pos,w);
  else Modify(rs,mid+1,r,pos,w);
  upd(x);
}
il void Modify(re int x,re int l,re int r,re int ql,re int qr,re int w)
{
  if(ql<=l&&r<=qr) {cover(x,w);return;}
  re int mid=l+r>>1;
  if(tag[x]) Pushdown(x);
  if(ql<=mid) Modify(ls,l,mid,ql,qr,w);
  if(qr>mid) Modify(rs,mid+1,r,ql,qr,w);
  upd(x);
}
il int Query(re int x,re int l,re int r,re int ql,re int qr)
{
  if(ql<=l&&r<=qr) return t[x];
  re int mid=l+r>>1;
  if(tag[x]) Pushdown(x);
  if(qr<=mid) return Query(ls,l,mid,ql,qr);
  if(ql>mid) return Query(rs,mid+1,r,ql,qr);
  return max(Query(ls,l,mid,ql,qr),Query(rs,mid+1,r,ql,qr));
}
int main()
{
  freopen("bird.in","r",stdin);
  freopen("bird.out","w",stdout);
  n=gi();k=gi();
  fp(i,1,n)
    {
      re int l=max(0,gi()),r=gi();
      if(r<0) continue;++l;++r;
      a[++tot]=(dat){l,r};
      ++cha[l];++in[l];--cha[r+1];mx=max(mx,r+1);
    }
  sort(a+1,a+1+tot);
  fp(i,1,mx) cha[i]+=cha[i-1];
  fp(i,1,mx)
    {
      f[i]=cha[i]+Query(1,0,mx,max(0,i-2*k),max(0,i-k));
      ans=max(ans,f[i]);now+=in[i];
      Modify(1,0,mx,i,f[i]-now);
      while(p<=tot&&a[p].r==i)
    {
      --now;
      Modify(1,0,mx,a[p].l,a[p].r,1);
      ++p;
    }
    }
  printf("%d\n",ans);
  fclose(stdin);
  fclose(stdout);
  return 0;
}