[AHOI2006]基因匹配

DP LCS 树状数组

题面

给出两个数列，它们都包含$n$种元素，并且每种元素都恰有$5$个，求它们的最长公共子序列。

• $n\leq20000$

解析

一般的$LCS$求法是$O(n^2)$的。
设$f[i][j]$表示在$s1$中匹配到第$i$个，$s2$中匹配到第$j$个。

fp(i,1,n)
    fp(j,1,n)
    {
      f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i-1][j]);
      if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
    }

但是$LCS$有时可以转化为$LIS$来做。
假设有两个序列
$s1[6]=\{a,b,c,a,d,c\},s2[7]=\{c,a,b,e,d,a,b\}$。
记录$s1$中每个元素在$s2$中出现的位置, 再将位置按降序排列, 则上面的例子可表示为：
$loc(a)=\{6,2\},loc(b)=\{7,3\},loc(c)=\{1\},loc(d)=\{5\}$
将$s1$中每个元素的位置按$s1$中元素的顺序排列成一个序列
$s3=\{6,2,7,3,1,6,2,5,1\}$
再对$s3$求$LIS$得到的值即为求$LCS$的答案。

感觉这有点像一种等效替代，倒序实际上保证了不能自己向自己转移。

这题转化为$LIS$问题后序列长度为$5*10^5$，用$O(nlogn)$的$LCS$算法可以解决。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;++i)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
const int N=5e5+100;
int n,m,pre[N][6],f[N],sta[N],t[N],top,ans;
il ll gi()
{
  re ll x=0,t=1;
  re char ch=getchar();
  while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
  if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*t;
}
il int max(re int x,re int y){return x>y?x:y;}
il void upd(re int x,re int w){for(;x<=n;x+=x&-x) t[x]=max(t[x],w);}
il int que(re int x){re int res=0;for(;x;x-=x&-x) res=max(res,t[x]);return res;}
int main()
{
  m=gi();n=m*5;
  fp(i,1,n)
    {
      re int x=gi();
      pre[x][++pre[x][0]]=i;
    }
  fp(i,1,n)
    {
      re int x=gi();
      fq(j,5,1) sta[++top]=pre[x][j];
    }
  fp(i,1,top)
    f[i]=que(sta[i]-1)+1,upd(sta[i],f[i]),ans=max(ans,f[i]);
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}