[bzoj3273]liars

脑洞 思维 最短路

题面

有$n$个人,编号分别为$1,2,...,n$。这$n$个人中每个人不是诚实者就是说谎者,并且每个人都知
道下一个人的身份(即第$k$个人知道第$k+1$个人的身份,$1\leq k<n$,且第$n$个人知道第$1$个人的
身份)。现在已知每个人对他下一个人的身份的判断,并且说谎者的人数不超过$t$,问哪些人一定是说谎者。注意,诚实者给出的判断一定是正确的,但说谎者给出的判断是不确定的,可能正确也可能错误。

• $30pts\ n\leq1000$
• $100pts\ n\leq10^5$

解析

好像不是第一次看见用图论知识表示各种关系的题目了。
然而我考场上写了个二分

$30pts$算法

题目要我们找各种说谎者方案的交集。即这个人无论在何种情形下，都是说谎者。
我们可以枚举每一个人，强制他为诚实者，然后看该条件下是否有合法（说谎者不超过$t$）的方案。
如果没有，就说明这个人一定是说谎者，统计进答案。

具体怎么实现？怎样最小化说谎者数？
为每个人建两个点，一个代表他诚实，另一个代表他说谎。
若该人判断下一个人诚实，则诚实点连向下一个人的诚实点;否则连向说谎点。
说谎点同时连向下一个人的诚实点和说谎点。（实质代表可能的诚实、说谎方案）

连向说谎点的边设边权为$1$,就可以统计说谎者个数。
于是破环为链，求一个点到另一个自己的最短路（为了保证合法，起点终点必须同一性质，同为诚实点或说谎点）就是答案。

复杂度$O(n^2)$

$100pts$算法

每一个人都跑一次最短路是不是有点浪费？
注意到每次求的最短路都经过了所有的人。
实际上，我们可以把起点终点都转化为$1$（新建一个代表$1$号人的点）。然后求的是经过当前点的最短路径。
于是$O(nlogn)$预处理从起点的两个点、终点的两个点分别出发的最短路，若起点诚实点到终点诚实点、起点说谎点到终点说谎点的距离均$>t$，就可把该人统计进答案。
复杂度$O(nlogn+n)$。

注意到建边有一些细节，不能建双向边（要不然走回去是什么鬼），要一次建正边、一次建反边来分别预处理；建反边注意一下方向和权值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int mod=1e9+7,N=5e5+100;
struct Edge{int to,nxt,w;}e[N<<2];
struct node{int dis,u;bool operator < (const node &o) const {return dis>o.dis;}};
priority_queue<node>Q;
int n,t,a[N],tot,ans,h[N],cnt,dis[4][N];
bool vis[N];
il void add(re int u,re int v,re int w){e[++cnt]=(Edge){v,h[u],w};h[u]=cnt;}
il ll gi()
{
   re ll x=0,t=1;
   re char ch=getchar();
   while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
   if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
   while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
   return x*t;
}
il void SPFA(re int id,re int st)
{
  memset(dis[id],63,sizeof(dis[id]));Q.push((node){0,st});vis[st]=1;dis[id][st]=0;
  while(!Q.empty())
    {
      re int u=Q.top().u;Q.pop();
      for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
    {
      re int v=e[i].to;
      if(dis[id][v]>dis[id][u]+e[i].w)
        {
          dis[id][v]=dis[id][u]+e[i].w;
          if(!vis[v]) vis[v]=1,Q.push((node){dis[id][v],v});
        }
    }
      vis[u]=0;
    }
}
int main()
{
  freopen("liars.in","r",stdin);
  freopen("liars.out","w",stdout);
  re int T=gi();
  while(T--)
    {
      memset(h,-1,sizeof(h));cnt=0;
      n=gi();t=gi();
      fp(i,1,n) a[i]=gi();
      fp(i,1,n)
    {
      if(a[i]) add(i<<1,(i+1)<<1|1,1);else add(i<<1,(i+1)<<1,0);
      add(i<<1|1,(i+1)<<1,0);add(i<<1|1,(i+1)<<1|1,1);
    }
      SPFA(0,1<<1);SPFA(1,1<<1|1);
      memset(h,-1,sizeof(h));cnt=0;
      fq(i,n+1,2)
    {
      if(a[i-1]) add(i<<1|1,(i-1)<<1,1);else add(i<<1,(i-1)<<1,0);
      add(i<<1,(i-1)<<1|1,0);add(i<<1|1,(i-1)<<1|1,1);
    }
      SPFA(2,(n+1)<<1);SPFA(3,(n+1)<<1|1);//n<<1???
      re int flag=0,tag=0;
      fp(i,1,n)
    {
      i<<=1;
    if(min(dis[0][i]+dis[2][i],dis[1][i]+dis[3][i])>t)
    {
      flag++;if(!tag) tag=i>>1;
    }
    //printf("%d %d %d %d %d\n",i,dis[0][i],dis[2][i],dis[1][i],dis[3][i]);
    i>>=1;
    }
      if(!flag) puts("0 0");
      else printf("%d %d\n",flag,tag);
    }
  fclose(stdin);
  fclose(stdout);
  return 0;
}