[CF348B]Apple Tree

DP 树形DP

题面

给一棵大小为$n$的树，树的每个叶子节点上有权值。
定义一颗树平衡：对于每一个结点$u$的子树都拥有相同的权值之和。
问至少要减掉多少权值才能使树平衡。

• $n\leq 10^5$

解析

这题想了半天。。。

一开始的想法是$dfs$一遍，回溯时每个点把其所有子树减到其最小子树大小。
然而立即发现我是个**，这会影响子树内的平衡。

如果把一个点的权值定义为它子树内的权值和，
在一个子树内，所有的点都减去同一个值，才不会影响其平衡。
所以如果要在一个点减小其权值，一减就要减它所有儿子权值的$lcm$。

为了使当前点平衡，我们需要使其所有子树大小相等。
为了使以后修改时仍然平衡，当然要使所有子树大小都为$lcm$的倍数。
如果一个儿子大小小于$lcm$，说明不能保留子树。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define pb(a) push_back(a)
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=1e5+100;
int n,m,h[N],cnt,tag=1;
ll w[N],ans,sz[N],dp[N],s;
struct Edge{int to,nxt;}e[N<<1];
il void add(re int u,re int v){e[++cnt]=(Edge){v,h[u]};h[u]=cnt;}
il int gi()
{
  re int x=0,t=1;
  re char ch=getchar();
  while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
  if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*t;
}
ll lcm(re ll a,re ll b)
{
  if(a*b>1e18+5e17) return tag=0,1;
  return a/__gcd(a,b)*b;
}
il void dfs(re int u,re int fa)
{
  dp[u]=w[u],sz[u]=1;re int Son=0;
  for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
    {
      re int v=e[i].to;
      if(v==fa) continue;
      ++Son;
      dfs(v,u);
      sz[u]=lcm(sz[u],sz[v]);
      dp[u]+=dp[v];
    }
  for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
    {
      re int v=e[i].to;
      if(v==fa) continue;
      dp[u]=min(dp[u],dp[v]-dp[v]%sz[u]);
    }
  if(!Son) Son=1;
  dp[u]*=Son;sz[u]*=Son;
}
int main()
{
  memset(h,-1,sizeof(h));
  n=gi();
  fp(i,1,n) w[i]=gi(),s+=w[i];
  fp(i,1,n-1)
    {
      re int u=gi(),v=gi();
      add(u,v);add(v,u);
    }
  dfs(1,0);
  printf("%lld\n",s-dp[1]);
  return 0;
}