[POI2012]FES-Festival

图论 tarjan 最短路

题面

有一个数列$\{a\}$。现给定多组限制，限制分成$2$类，第一类是$a_x+1=a_y$，有$m_1$个； 第二类是$a_x\leq a_y$，有$m_2$个。求这些数最多有多少种不同的取值。

• $n\leq600,m_1+m_2\leq10^5$

解析

看到不等式就可以想到差分约束。

根据一些差分约束小常识，可以设$dis[x][y]$表示$a_x$最多能比$a_y$大多少。
于是对第一类，$dis[x][y]=1,dis[y][x]=-1$。（双向边适用于定量比较）
第二类，由于是$a_y\geq a_x$,$dis[y][x]=0$。（单向边适用于定性比较）

一般来说，图中只要有非$0$环就是不合法的。
观察一下建边，可以发现如果有正环，它的反边就会构成负环。
于是只要判负环就可以了。

如何判负环？
$SPFA$判负环（初始化一定要为正无穷）、$floyd$判断$dis[i][i]<0$都可以。
然而这题用前者会出现点小坑。
因为我们一般出发都会以$1$为起点，而这一个图中$1$不一定与负环联通。
怎么办？
跑$tarjan$找出联通块。虚构一个结点，与各个联通块建边权为$0$的边（主要注意防止因该结点的建立而产生新的负环），然后从虚构点出发$SPFA$即可。

缩完点后，图中只剩边权为$0$的边连接各联通块（第一类自己就能构成一个块）。由于“大于等于”这个关系不限制绝对大小，因而对答案没有影响（因可以无限扩大各联通块的值），可以忽略这些边。

于是各联通块内$maxdis+1$之和即为答案。
（话说只在联通块内跑$floyd$的效率真是恐怖，$SPFA$判负环成了复杂度瓶颈）

完了？然而还要注意限制条件可以叠加，所以$dis$的赋值要取$\min$。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int mod=1e9+7,N=605;
struct Edge{int to,nxt,w;}e[N*400];
int n,m1,m2,h[N],cnt,dis[N],dfn[N],low[N],tim,sta[N],top,scc,bl[N],sz[N],num[N],d[N][N];
bool vis[N];
ll ans;
queue<int>Q;
il void add(re int u,re int v,re int w){e[++cnt]=(Edge){v,h[u],w};h[u]=cnt;}
il ll gi()
{
   re ll x=0,t=1;
   re char ch=getchar();
   while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
   if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
   while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
   return x*t;
}
il void tarjan(re int u)
{
  dfn[u]=low[u]=++tim;vis[u]=1;sta[++top]=u;
  re int v;
  for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
    {
      re int v=e[i].to;
      if(!dfn[v]) tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
      else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
  if(dfn[u]==low[u])
    {
      ++scc;
      do{v=sta[top];bl[v]=scc;vis[v]=0;++sz[scc];top--;}while(u^v);
    }
}
il int fSPFA(re int st)
{
  memset(dis,63,sizeof(dis));memset(vis,0,sizeof(vis));memset(num,0,sizeof(num));
  while(!Q.empty()) Q.pop();
  dis[st]=0;num[st]=1;Q.push(st);vis[st]=1;
  while(!Q.empty())
    {
      re int u=Q.front();Q.pop();
      for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
    {
      re int v=e[i].to;
      if(dis[v]>dis[u]+e[i].w)
        {
      if((++num[v])>n) return 0;
          dis[v]=dis[u]+e[i].w;
          if(!vis[v]) vis[v]=1,Q.push(v);
        }
    }
      vis[u]=0;
    }
  return 1;
}
int main()
{
  memset(h,-1,sizeof(h));memset(d,63,sizeof(d));
  re int u,v;
  n=gi();m1=gi();m2=gi();
  fp(i,1,m1) u=gi(),v=gi(),add(u,v,1),add(v,u,-1),d[u][v]=min(d[u][v],1),d[v][u]=min(d[v][u],-1);
  fp(i,1,m2) u=gi(),v=gi(),add(v,u,0),d[v][u]=min(d[v][u],0);
  fp(i,1,n) d[i][i]=min(d[i][i],0);
  fp(i,1,n) if(!dfn[i]) tarjan(i);
  memset(vis,0,sizeof(vis));
  fp(i,2,n)
    if(!vis[bl[i]])
      add(0,i,0),vis[bl[i]]=1;
  memset(vis,0,sizeof(vis));
  //if(!fSPFA(0)) {puts("NIE");return 0;}
  fp(o,1,scc)
  {
    re ll mx=0;
    fp(k,1,n)
    {
      if(bl[k]!=o) continue;
      fp(i,1,n)
      {
    if(bl[i]!=o||d[i][k]==d[0][0]) continue;
        fp(j,1,n)
      {
        if(bl[j]!=o||d[k][j]==d[0][0]) continue;
        d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
      }
      }
    }
    fp(i,1,n)
      {
    if(bl[i]!=o) continue;
    fp(j,1,n)
      {
        if(bl[j]!=o) continue;
        mx=max(mx,d[i][j]);
      }
      }
    ans+=mx+1;
  }
  fp(i,1,n) if(d[i][i]<0) {puts("NIE");return 0;}
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}