[CF932E]Team Work

数论

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题面

求$\sum_{i=1}^nC(n,i)*i^k$

• $n\leq10^9,k\leq5000$

解析

很显然能看出式子的现实意义：从$n$个箱子中选出$i$个，然后再在这$i$个箱子中任意放入$k$个球。
这样箱子有区别，球也有区别。

注意到$k$比$n$小了一个级别。考虑从球的角度下手。
$k$个球最多只能放入$k$个箱子，除此以外就是很多空箱。
因此，我们可以枚举球总共放入多少个箱子（不允许空箱），然后其它箱子是选与不选皆可。
设当前放入$i$个箱子，则方案数为（$P$表示排列数）

$$S(k,i)*P(n,i)*2^{n-i}$$
综上，最后答案为
$$\sum_{i=1}^kS(k,i)*\frac{n!}{(n-i)!}*2^{n-i}$$
复杂度$O(k^2)$。
注意$n<k$的情况。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define db double
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int mod=1e9+7,N=5005;
int n,k,S[5005][5005];
ll ans;
il int gi()
{
  re int x=0,t=1;
  re char ch=getchar();
  while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
  if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*t;
}
il void Pre()
{
  S[0][0]=1;
  fp(i,1,k)
      fp(j,1,i) S[i][j]=(S[i-1][j-1]+1ll*j*S[i-1][j]%mod)%mod;
}
il ll ksm(re ll S,re ll n)
{
  re ll T=S;S=1;
  while(n)
    {
      if(n&1) S=S*T%mod;
      T=T*T%mod;
      n>>=1;
    }
  return S;
}
il ll jc(re int l,re int r)
{
  re ll res=1;
  fp(i,l,r) (res*=i)%=mod;
  return res;
}
int main()
{
  n=gi();k=gi();
  Pre();
  fp(i,1,min(k,n))
      (ans+=1ll*S[k][i]*jc(n-i+1,n)%mod*ksm(2,n-i)%mod)%=mod;
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}