[JSOI2016]独特的树叶

哈希 树

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题面

有一颗大小为$n$的树$A$，现加上一个节点并打乱编号，形成树$B$，询问加上的节点最后编号是多少?

• $n\leq10^5$

解析

判断树的同构显然需要树哈希。
可以先将树$A$中以每个节点为根的哈希值算出来存进一只$unordered\_set$中，
然后在树$B$中随便找一个不是叶节点的节点为根，枚举去掉一个叶节点，看根的$Hash$值是否能在$unordered\_set$中找到。
什么？只会$O(n^2)$求树的哈希值？
我们需要思考一种$Hash$函数，在根变动时，只影响新根和原根两节点的值，这样就可以每枚举到一个点，就算出其为根时的哈希值。因为要先$DP$一遍才能换根，所以复杂度为$O(2n)$。
并且函数需要很容易去掉某个点的影响。(异或）

$$Hash_{fa}=(Hash_{son1}+Base)\bigoplus(Hash_{son2}+Base) \bigoplus ...+size_{fa}*p+1$$
一般树哈希还要考虑$deep$,当然如果你要换根$DP$，考虑$deep$的影响就没什么用啦。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<tr1/unordered_set>
#define ll unsigned long long
#define re register
#define il inline
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=5e5+10,p=1e9+7;
std::tr1::unordered_set<ll>Q;
int h[N],cnt,in[N],sz[N],n;
ll Hash[N],ans=1e18;
struct Edge{int to,nxt;}e[N<<1];
il void add(re int u,re int v){e[++cnt]=(Edge){v,h[u]};h[u]=cnt;}
il void dfs(re int u,re int fa)
{
  sz[u]=1;re ll sum=0;
  for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
    {
      re int v=e[i].to;
      if(v==fa) continue;
      dfs(v,u);
      sz[u]+=sz[v];
      Hash[u]=Hash[u]^(Hash[v]+17);
    }
  Hash[u]+=sz[u]*p+1;
}
il void dfs1(re int u,re int fa)
{
  Q.insert(Hash[u]);
  for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
    {
      re int v=e[i].to;
      if(v==fa) continue;
      re ll tmp=(Hash[u]-sz[u]*p-1)^(Hash[v]+17);
      tmp+=(n-sz[v])*p+1;
      Hash[v]-=sz[v]*p+1;
      Hash[v]^=(tmp+17);
      Hash[v]+=n*p+1;
      sz[v]=n;
      dfs1(v,u);
    }
}
il void dfs2(re int u,re int fa)
{
  for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
    {
      re int v=e[i].to;
      if(v==fa) continue;
      re ll tmp=(Hash[u]-sz[u]*p-1)^(Hash[v]+17);
      if(in[v]>1)
    {
          tmp+=(sz[u]-sz[v])*p+1;
          Hash[v]-=sz[v]*p+1;
          Hash[v]^=(tmp+17);
          Hash[v]+=sz[u]*p+1;
          sz[v]=sz[u];
          dfs2(v,u);
    }
      else
    {
      tmp+=(sz[u]-sz[v])*p+1;
      if(Q.count(tmp)) ans=min(ans,1ull*v);
    }
    }
}
int main()
{
  memset(h,-1,sizeof(h));
  n=gi();
  fp(i,1,n-1)
    {
      re int u=gi(),v=gi();
      add(u,v);add(v,u);
    }
  dfs(1,0);//计算树A哈希值
  dfs1(1,0);//换根算树A哈希值
  memset(h,-1,sizeof(h));memset(Hash,0,sizeof(Hash));
  fp(i,1,n)
    {
      re int u=gi(),v=gi();
      ++in[u];++in[v];
      add(u,v);add(v,u);
    }
  re int i;
  for(i=1;i<=n;i++) if(in[i]>1) break;//随便找一个不是叶节点的节点为根
  dfs(i,0);//算树B哈希值
  dfs2(i,0);//对叶子节点，试去掉它会怎么样;对非叶子节点，进行换根DP
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}