@jiyanjiang 2017-05-09T09:28:40.000000Z 字数 1904 阅读 2718

玻尔模型

原子物理

上：吸收光谱；下：发射光谱；

波数: $\tilde{\nu } = \frac{1}{\lambda}$

$\tilde{\nu } = \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n'^2} \right)$

$n=1,2,3,...; n' = n+1, n+2, n+3, ...$

里德堡常数：

$R_H = 1.097 \times 10^7 m^{-1}$

1913：玻尔模型

电子在正圆轨道上运行，假设半径 $r$

$\frac{m v^2}{r} = \frac{e^2}{ 4 \pi \epsilon_0 r^2}$

不考虑狭义相对论，电子动能：

$K = \frac{m v^2}{2} = \frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0 r}$

电子的势能：

$V = - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}$

电子具有的总能量：

$E = K+V = - \frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0 r} < 0$

量子化条件

角动量量子化条件：

$L = m v r = n \hbar$

$n = 1, 2, ...$

或更一般地，索末菲量子化条件

$\oint p dq = n h$

这里

$\oint$ 表示对闭合回路积分一个周期（通俗地说就是一圈）。即：

$(mv) (2 \pi r) = n h$

利用量子化条件：

$K = \frac{ (m v r)^2 }{ 2 m r^2 } = \frac{n^2 \hbar^2}{ 2 m r^2} = \frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0 r}$

对上式简化：

$\frac{n^2 \hbar^2}{ 2 m r} = \frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0}$

由此可求出 $r$ ，此时只有一系列特定的 $r$ 才是被允许的，记作 $r_n$ ：

$r_n = \frac{4 \pi \epsilon_0 n^2 \hbar^2 }{ m e^2} = a_0 n^2$

这里

$a_0 = \frac{ 4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 }{ m e^2 } \approx 0.05 nm$

能量量子化

$E_n = - \frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0 r_n } = - \frac{e^2}{ 8 \pi \epsilon_0 } \frac{m e^2 }{4 \pi \epsilon_0 n^2 \hbar^2 }$

化简可得：

$E_n = - \frac{m c^2}{2} \frac{1}{n^2} \left( \frac{e^2 }{4 \pi \epsilon_0 \hbar c } \right)^2$

定义精细结构常数（fine structure constant） $\alpha$ ：

$\alpha = \frac{e^2 }{4 \pi \epsilon_0 \hbar c } = \frac{1}{137}$

$E_n = - \frac{ m \alpha^2 c^2}{2 } \frac{1}{n^2}$

基态能

$n=1$ , 能量最低，称为基态能（Ground State Energy）

$E_1 = - \frac{ m \alpha^2 c^2}{2 } = - 13.6 eV$

第一玻尔速度

$v_n = \frac{n \hbar }{ m r_n } = \frac{ n \hbar } { m a_0 n^2} = \frac{\hbar}{ m a_0} \frac{1}{n}$

当 $n= 1$ 时

$\frac{\hbar}{m} \frac{ me^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 \hbar^2} = \frac{e^2}{ 4 \pi \epsilon_0 \hbar c} c = \alpha c << c$

说明我们不考虑狭义相对论效应是合理的。

电子运转频率

$T_n = \frac{ 2 \pi r_n} {v_n} = \frac{ 2 \pi a_0 }{\alpha c} n^3$

$\nu_n = \frac{1}{T_n} = \frac{\alpha c}{2 \pi a_0} n^{-3}$

$\omega_n = 2 \pi \nu_n = \frac{\alpha c}{ a_0} n^{-3}$

练习

假设只考虑电子和质子间的引力而忽略电磁相互作用，按照玻尔理论估算氢原子的第一玻尔半径（请把最终结果用光年表示）。

Solution:

引力提供向心力：

$\frac{G m_p m_e}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$

角动量量子化：

$m_e v r = n \hbar$

解出特定轨道半径，对应定态，即电子只能处在这些半径，或运动状态[1]下。

$r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{G m_p m_e^2}$

基态玻尔半径：

$r_1 = \frac{\hbar^2}{G m_p m_e^2 } = 1.2 \times 10^{29} m$

一光年(1Ly)是

$1 Ly = 9.46 \times 10^{15}m$

则

$r_1 = 1.3 \times 10^{13} Ly$

作为比较，我们已知宇宙的大小是100-200亿光年之间。

Reference

[1] 更精确的说法是量子态 ↩