方程根式求解

数学

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@rubik

一个 $n$ 次代数方程的根是否可以用它的系数经过有限次四则运算和开方表示出来[1]？

本文是对文献（脚注1）相关内容的笔记，细节内容和概念可以参考代数方面的书籍。

1.分裂域

在近世代数里，域是可交换的除环，常见的有数域 $\mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q}$ .

如果一个域 $F$ 上的多项式 $f(x)\in F[x]$，包含 $f(x)$ 所有根的最小扩域，称为 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域（splitting field）或根域（root field），记为 $E_f$ .

设域 $K$ 是域 $F$ 的扩域，记 $K|F$ . 如果 $\sigma$ 是 $K$ 上的一个自同构且保持F上的元素不变 $(\sigma|_F=1)$ ，则称为 $\sigma$ 为 $K$ 上的一个 $F$-自同构。

• 当 $deg(f(x))\geqslant 1$，则 $E_f$ 存在且在 $F$-自同构意义下惟一。

2.Galois群

$K|F$ 上的全体 $F$-自同构关于映射复合构成群，称 $K$ 在 $F$ 上的Galois群，简记为 $G_{K|F}$ .

多项式的Galois群： 对于多项式 $f(x)\in F[x]$，$E_f$ 在 $F$ 上的Galois群 $G_{E_f|F}$ 称为 $f(x)$ 在 $F$ 上的Galois群，简记为 $G_f$ .

定理： 设多项式 $f(x)\in F[x]$ 在 $E_f$ 上有 $n$ 个不同的根，记为 $\Omega=\{u_1,u_2,\dots,u_n\}$，则 $\forall g\in G_f$ 对应 $\Omega$ 上的一个置换：

$$\begin{equation*} \sigma_g=\left( \begin{array}{ccc} u_1&u_2&\cdots&u_n\\ g(u_1)&g(u_2)&\cdots&g(u_n) \end{array} \right) \end{equation*}$$

这说明了多项式的Galois群的元素可以用根集上的置换来表示，而且 $|G_f|=(E_f:F)$ .

$(E_f:F)$ 表示 $E_f$ 对 $F$ 的扩张次数。

实际上，还有

• 当 $ch(F)=0$， $f(x)\in F[x]$ 是 $n$ 次不可约多项式，则 $f(x)$ 的Galois群 $G_f$ 同构于 $f(x)$ 的根集上的一个置换群：$G_f\leqslant S_n$ .

$ch(F)$ 是域 $F$ 的特征。

如果想要计算多项式的Galois群，可以从确定Galois群的阶数以及分裂域的生成元来考虑。

3.群的可解性

设 $G$ 为有限群，若存在以下的逐级正规子群序列

$$G=G_1\rhd G_2\rhd \cdots\rhd G_{s}\rhd G_{s+1}=<1>$$ 满足商群 $G_i/G_{i+1}$ 均是Abel群，称G是可解群（solvable group）。

也可以根据换位子群给出可解群的等价定义，略。

• $S_n(n\geqslant 5)$ 不是可解群。（$S_n$ 为 $n$ 次对称群）

4.根式求解判定

根式扩张：

对于域的扩张 $K|F$ 如果存在 $d\in K,a\in F,n\in N^*$ 使得 $a=d^n$ 且 $K=F(d)=F(\sqrt[n]{a})$，称为根式扩张。

根式可解：

设 $f(x)\in F[x]$ 为首一多项式，$deg(f(x))\geqslant 1$，若存在根式域链：$F=F_1$满足 $F_{i+1}|F_i$ 均是根式扩张，而且 $E_f\leqslant K$. 称方程 $f(x)=0$ 在 $F$ 上是根式可解的。

也就是说，“当多项式的分式域被包含在基域的有限次根式扩张域中，其所有根均可从基域出发经过有限次的开方和四则运算得到”。

根式可解判断

设 $ch(F)=0,f(x)\in F[x]$，则 $f(x)$ 在 $F$ 上可根式求解的充要条件是 $f(x)$ 的Galois群 $G_f$ 是可解的。

由于 $S_n(n\geqslant 5)$ 的不可解性，可以知道 “5次以上的代数方程不一定都可根式求解”。