温度与热平衡

热学

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温度

系统与环境

系统：想象中的某研究对象，在确定的空间范围内。

环境：围绕系统，可与系统发生相互作用。

宏观描述

假想有一罐气体，气体的组分、体积、压强和温度。这些量描述了系统的总体特征或大尺度属性。

系统由一系列宏观描述规定。这些宏观描述也叫“热力学坐标”。

热平衡

热力学第零定律（R H Fowler）：与第三个体系处于热平衡的两个体系，彼此也处于热平衡。

$$A(X,Y); B(X',Y'); C(X'',Y'' )$$

AC达到热平衡：

$$f_{AC}( X , Y ; X'', Y'' )=0$$

BC达到热平衡：

$$f_{BC}(X',Y'; X'', Y'') = 0$$

由热平衡的物态方程解出$Y''$，

$$Y'' = g_{AC} (X, X'', Y) = g_{BC}(X', X'', Y')$$

AB也达成了热平衡。

$$f_{AB}(X,Y; X', Y') = 0$$

这意味着$Y'' = g_{AC} =g_{BC}$可推出$f_{AB} = 0$。即变量$X''$可以从$Y'' = g_{AC} =g_{BC}$中被消掉。

$$h_A (X, Y) = h_B(X', Y')$$

由于A, B, C的地位是对称的，最后可得到：

$$h_A(X, Y) = h_B(X', Y',) = h_C (X'', Y'')$$

喀喇氏温度定理

对每一均匀系，其平衡态由参数X, Y描写（X代表泛泛意义下的广延量，Y代表泛泛意义下的强度量），必存在一状态函数$\theta = f(X,Y)$，称为系统的温度，使得：任何其他与这个系统互相平衡的均匀系都可定义各自的温度，在平衡时这些函数的数值都相同。

只有满足特定关系的$X, Y; X', Y'$才可以使A, B达到热平衡。这意味着存在关系：

$$F(X,Y;X',Y') = 0$$

类似，A，C达到热平衡：

$$G(X,Y; X'',Y'') = 0$$

B，C达到热平衡：

$$H(X',Y'; X'', Y'') = 0$$

$F=0$和$G=0$可推出$H=0$, 即参数X, Y可以可以从$F=0$和$G=0$中消掉。

首先存在X使得$\frac{\partial F}{\partial X} \neq 0$和$\frac{\partial G}{\partial X} \neq 0$同时成立，否则就没法通过$F=0$和$G=0$消去X。

这意味着我们可以解出：

$$X = F_1(Y; X', Y')$$

$$X = G_1(Y; X'', Y'')$$

这意味着：

$$F_1(Y; X', Y') = G_1(Y; X'', Y'')$$

还必须进一步把变量Y消掉。

这只有在$F_1$和$G_1$是如下形式的时候才有可能：

$$F_1 = a(Y)g(X',Y')+b(Y)$$

$$G_1 = a(Y)h(X'',Y'')+b(Y)$$

我们令：

$$f(X,Y) = \frac{X- b(Y)}{a(Y)}$$

可推出：

$$f(X,Y)=g(X',Y')=h(X'',Y'')$$

需要注意的是温度函数$\theta$并未完全确定下来，因为我们可以设想一个函数$\Theta (\theta)$，它使：

$\Theta(\theta ) = \Theta(f(X,Y)) = \Theta (g(X',Y')) = \Theta(h(X'', Y''))$都成立。不同$\Theta$的选取对应不同的温标（比如摄氏、华氏、绝对温标等等）。