格点和波矢空间上的基础对易式

固体理论

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格点$l$上的位置算符$x_l$，

$$ x_l = \frac{1}{\sqrt N}\sum\limits_{q \in BZ}e^{iqla} x_q $$

$$x_l = \frac{1}{\sqrt N}\sum\limits_{q \in BZ}e^{iqla} x_q$$

$x_q$是变换到波矢空间上的位置算符，

$$ x_q = \frac{1}{\sqrt N}\sum\limits_l e^{-iqla}x_l $$

$$x_q = \frac{1}{\sqrt N}\sum\limits_l e^{-iqla}x_l$$

现在引入格点上的动量算符$p_l$，应满足对易关系：

$$ \left[ x_l ,p_{l'} \right] = i \hbar {\delta}_{l,l'} $$

$$\left[ x_l ,p_{l'} \right] = i \hbar {\delta}_{l,l'}$$

同时波矢空间中的动量算符$p_q$，也应满足对易关系：

$$ \left[ x_q, p_{q'} \right] = i \hbar {\delta}_{q,q'} $$

$$\left[ x_q, p_{q'} \right] = i \hbar {\delta}_{q,q'}$$

可以证明$p_l$与$p_q$必须取如下形式，以上两个对易式才能满足。

$$ p_l = \frac{1}{\sqrt N}\sum\limits_{q \in BZ}e^{-iqla} p_q $$

$$p_l = \frac{1}{\sqrt N}\sum\limits_{q \in BZ}e^{-iqla} p_q$$

代入$[x_l,p_{l'}]$

$$ x_l p_{l'} = \sum\limits_q \sum\limits_{q'}\frac{1}{N}e^{iqla-iq'l'a}x_q p_{q'} $$

$$x_l p_{l'} = \sum\limits_q \sum\limits_{q'}\frac{1}{N}e^{iqla-iq'l'a}x_q p_{q'}$$

$e$指数部分：

$$ iqla-iq'l'a=iqla - iql'a + iql'a - i q'l'a $$

$$iqla-iq'l'a=iqla - iql'a + iql'a - i q'l'a$$

代入后：

$$\sum\limits_{q,q'} \frac{1}{N} e^{iq(l-l')a}e^{i(q-q')l'a} x_q p_{q'} = \sum\limits_{q'}\delta_{l,l'}e^{i(q-q')l'a}x_qp_{q'} $$

$$\sum\limits_{q,q'} \frac{1}{N} e^{iq(l-l')a}e^{i(q-q')l'a} x_q p_{q'} = \sum\limits_{q'}\delta_{l,l'}e^{i(q-q')l'a}x_qp_{q'}$$

考虑到：

$$ x_qp_{q'}-p_{q'}x_q = i\hbar \delta_{q,q'} $$

$$x_qp_{q'}-p_{q'}x_q = i\hbar \delta_{q,q'}$$

继续化简，

$$[x_l,p_{l'}] = \sum\limits_{q'}\delta_{l,l'}e^{i(q-q')l'a}i \hbar \delta_{q,q'} = i \hbar \delta_{l,l'}$$

$$[x_l,p_{l'}] = \sum\limits_{q'}\delta_{l,l'}e^{i(q-q')l'a}i \hbar \delta_{q,q'} = i \hbar \delta_{l,l'}$$

QED