自然数、分数和根号2

初等数学

【自然数】

最简单的数是自然数，0，1，2，3……，但严格地对自然数进行定义并不简单。

从学习的角度，我们是这么掌握自然数的：

1.背诵，先是背熟10以内的自然数：

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10

这可以借助10个手指头。

然后还是背诵，背熟20以内的：

……11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

这里已经涉及个位和10位的问题了，好在我们有科学计数法，大于10但小于20的自然数可写为$1n$，这里$n$是0到9中间的一个数：

$1n = 1 \times 10 + n$

严格来说，我们现在还没有定义加法，从0，1，2，3……开始到18，19，20的罗列仅仅是个罗列，是个有方向的一一罗列，好比是20来个好伙伴手拉手列成一队，从左到右，我一一清点他们，记熟他们的名字和位置。

进一步地，我们还可以背熟0到100的数字，这其实就是对一个链式结构的命名，命名并把它们记熟。这个过程是没头的，中国古代有五数，“一、十、百、千、万”，每逢10进1，一而十，十而百……

有“一、十、百、千、万”，日常生活中碰到的数字足够表达了。

2.把从0到20的自然数背熟，就是在把握里面的数学结构，我们也可以通过定义运算把这里面的数学结构说清楚。

运算就是对数字的操作，比如我们可以定义加法：

$m + n$，先从0开始数，数到$m$，然后$m+1$，$m+2$，……，一直到$m+n$，因为数字已经背熟了，我们发现$m+n$就是我们背熟的数字序列中的某个数。

这个就是所谓“掰手指头”，由三开始再掰两个就是五，记作：

$3+2 = 5$

但实际上算术不是这么学的，我们依然是背诵，画出加法表，然后把它们背下来。

$1+1 = 2$, $1+2 =3$, ...
$2+1 =3$
...

其实加法表，就是对加法的定义。

【分数】

我们可以用两个数（$m,n$）表示分数：

$\frac{n}{m}$

首先把1（这个1可以是单位长度、单位面积，也可以是单位重量等）分成$m$份，然后再从这$m$份中拣选出$n$份来，这意味着$m > n$。

这个动作和分配有关，比如井田制中，公田占$\frac{1}{9}$，剩下的$\frac{8}{9}$分给8家是私田，每家1份，耕作的时候要先8家一起耕公田，公田忙完后才能治私田。

当然也可以$m < n$，只要分母$m$不为0，分数的定义就是有意义的。它表示对$\frac{1}{m}$累积了$n$次。

假设我们有1把尺子，比如汉尺的长度是$23.1$厘米，然后去量尖碑影子的长度，在经历了几个整数的长度后，也许还剩一点，这剩下的一点不足1尺，同时又不可以忽略，这时我们就可以用分数的概念了，把1尺分成$m$份，然后拣选出$n$份来。

比如中国古代用分数来表示圆周率$\pi$（圆周率被定义为圆周长$L$和圆直径$D$的比值：$\pi = \frac{L}{D}$），比如祖冲之用分数$\frac{22}{7}$来表示对圆周率的粗略近似，而用$\frac{355}{113}$来表示对圆周率的精确近似。

对$\pi$也可构造级数逼近：

$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + ...$

上式的严格证明需要有微积分的知识。

分数也叫有理数，是不是所有的数都是有理数呢？或是不是所有的数都可表示为两个数字（$m,n$）的组合$\frac{n}{m}$呢？

【$\sqrt{2}$】

古希腊的毕达哥拉斯坚信，宇宙万物的形状都可表示为数，这里的数指的是整数或整数的组合（比如分数）。这就是所谓“万物皆数”。但很快，毕达哥拉斯本人或毕达哥拉斯学派中的某个弟子就构造出了一个反例。这个反例也利用到了毕达哥拉斯的另外一项成就，毕达哥拉斯定理。

毕达哥拉斯定理说，

直角三角形两直角边的平方和等于直角三角形斜边的平方。

$a^2 + b^2 = c^2$

现在考虑一个等腰直角三角形，直角边的长度是1，斜边的长度是多少呢？

用今天的数学语言，斜边的长度是$\sqrt{2}$。

首先这个$\sqrt{2}$是我们可以用尺规作图严格得到的，其次这个斜边确实没法表示为分数的形式，即我们无法用两个自然数来表示斜边的长度，但这个斜边确实是存在的啊。

这个证明不难，思路是反证法，就是我们先假设$\sqrt{2}$可以表示为某个$\frac{n}{m}$的形式，然后我们将会发现有自相矛盾的地方，为了避免矛盾我们只有假设$\sqrt{2}$不能被表示为分数的形式了。

我们今天管$\sqrt{2}$叫无理数，但无理数不是没道理的意思，尺规作图能严谨地给出$\sqrt{2}$的长度，而且就是几个步骤，这怎么能叫无理呢。

无理数（irrational）的无理理解为不合比例会更好。在古代思想中，合乎比例有公平、和谐的意思，因为比例的存在，比如井田制里的公私比为$1:8$就是公平的，因为公平而造就整体与部分的和谐。

【实数】

有理数和无理数的集合是实数，关于实数的近代理论是戴德金给出的，但也有学者认为古希腊哲学家已经很接近一个实数的理论，比如由柏拉图的学生欧多克索斯（Eudoxos）的工作出发也可构造出实数理论。

参考：math/0405454, The Eudoxus Real Numbers