普朗克公式的推导

量子统计 普朗克 黑体辐射

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1900, M. Planck,

$$u_T(\nu) = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{\frac{h \nu}{k_B T}} - 1}$$

能量谱密度：

$$u_T(\nu) = g(\nu) \left\langle \epsilon(\nu) \right\rangle_T$$

这里$g(\nu)$是态密度，$\left\langle ... \right\rangle_T$表示热力学平均。

态密度

态密度的定义是单位体积，单位频率间隔，有多少个态。

$$g(\nu) = \frac{1}{V}\frac{dN(\nu)}{d \nu}$$

利用统计物理知识，相空间中每$h^3$对应一个态，

$$N =2\cdot \frac{\int dx dy dz \int dp_x dp_y dp_z}{h^3} = 2 \frac{ V}{h^3} \frac{4 \pi}{3} \hbar^3 k^3$$

这里因子2是简并度，对每个$(p_x, p_y, p_z)$，电磁场有两个独立的振动模式（比如: x偏振光和y偏振光）

考虑，

$$k = \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{2 \pi}{c T} = \frac{2 \pi \nu}{c}$$

$$N(\nu) = V \frac{8 \pi }{3 } \frac{\nu^3}{c^3}$$

态密度$g(\nu)$,

$$\frac{1}{V}\frac{dN(\nu)}{d \nu} = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}$$

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态密度还有一种求法，考虑立方体$L$及边界条件[1],

$$k_x L = n_x \pi$$

这里$n_x = 1, 2, ...$

类似地,

$$k_y L = n_y \pi$$

$$k_z L = n_z \pi$$

或：

$$k_x = n_x \frac{ \pi}{L}, k_y = n_y \frac{ \pi}{L}, k_z = n_z \frac{ \pi}{L}$$

这里:

$$k_x >0, k_y > 0, k_z >0$$

在波矢空间中, $k_x, k_y, k_z$构成间隔$\frac{\pi}{L}$的点阵。换句话说在波矢空间中每$\left( \frac{\pi}{L} \right)^3$就有一个态（或电磁场振荡的模式）

从0到$k$的总态数：

$$N(k) = 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{4\pi k^3}{3} \left( \frac{L}{\pi} \right)^3$$

• 这里2是简并度；
• 考虑到$k_x >0, k_y > 0, k_z >0$, 我们只对1/8卦限里面的态进行求和，所以有因子$\frac{1}{8}$；

化简可得：

$$N(k) = \frac{V k^3 }{3\pi^2}$$

或

$$N(\nu) =V \frac{8\pi}{3} \frac{\nu^3}{c^3}$$

这两种计算方法的区别是——是否有$k_x, k_y, k_z > 0$的限制，如果有的话就要乘以1/8的因子，否则不需要，前者对应类似驻波那样的边界条件，会导致间隔$\frac{\pi}{L}$的波矢空间点阵, 否则是周期性边界条件和$\frac{2\pi}{L}$的波矢空间点阵。

热力学平均

利用玻尔兹曼关系：

$$P(E)\propto e^{- \beta E}$$

可计算热力学平均：

$$\left\langle \epsilon(\nu) \right\rangle_T = \frac{ \sum\limits_n E_n e^{- \beta E_n} }{\sum\limits_n e^{- \beta E_n} }$$

这里

$$E_n = n h \nu$$

$n=0,1,2,3,...$；即某振荡模式下可以有0个光子，1个光子，……

代入

$$\frac{ \sum\limits_n E_n e^{- \beta E_n} }{\sum\limits_n e^{- \beta E_n} } = \frac{ \sum\limits_n n h \nu e^{- \beta n h \nu} }{\sum\limits_n e^{- \beta n h \nu} }$$

$$= - \frac{\partial }{\partial \beta } \ln \sum\limits_{n=0}^{\infty} e^{- \beta n h \nu} = - \frac{\partial }{\partial \beta } \ln \frac{1}{1- e^{- \beta h \nu}}$$

$$= \frac{\partial }{\partial \beta } \ln \left( 1- e^{- \beta h \nu} \right) = \frac{h \nu e^{- \beta h \nu} }{1- e^{- \beta h \nu}} = \frac{h \nu }{e^{\beta h \nu} -1 }$$

因此

$$u_T(\nu) = g(\nu) \left\langle \epsilon(\nu) \right\rangle_T = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{\beta h \nu} -1 }$$

参考

• Density of States