随机行走

热学

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假设向量$\vec R$，由N个向量$\vec r_i$叠加而成，$\vec r_i$是个大小$r$确定，但方向$\theta_i$随机的向量。

$$r_i = r \left( \cos \theta_i , \sin \theta_i \right)$$

$$\vec R = \sum\limits_i \vec r_i$$

$\vec R$的平均值$\left\langle \vec R \right\rangle$：

$$\left\langle \vec R \right\rangle = 0$$

$\vec R$的大小是$|\vec R| = \sqrt{\vec R \cdot \vec R}$

$$\vec R \cdot \vec R =\left( \sum\limits_i \vec r_i \right) \cdot \left( \sum\limits_j \vec r_j \right) = \sum\limits_i \vec r_i \cdot \vec r_i + \sum\limits_{i \neq j} \vec r_i \cdot \vec r_j$$

以上求和中，第一项对应$i = j$的项，共$N$项，第二项对应的是$i \neq j$的项，共$N(N-1)$项。即：$N^2 = N + N(N-1)$。

假设每一个小矢量的大小是$r$，方向$\theta$是随机的，

$$\vec r_i \cdot \vec r_j = r_i r_j \cos (\theta_i - \theta_j)$$

$\vec r_i$和$\vec r_j$的夹角$(\theta_i - \theta_j)$是随机的，平均而言：$\left\langle \cos (\theta_i - \theta_j) \right\rangle = 0$

现在：$\vec R \cdot \vec R = N r^2$，$\vec R$的大小是：

$$| \vec R | = \sqrt{N} r$$