初中数学题一则

三角形 全等三角形 辅助线

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如图已知：AM是$\triangle$ABC的中线，分别以AB，AC为边向$\triangle$ABC外作正方形ABEF、ACGH，连接FH，求证：FH=2AM。

证：

首先反向延长AM到N，使得AM=MN

然后证明$\triangle$AFH和$\triangle$CNA是全等三角形

全等三角形证明的要点在于：两边及夹角分别相等。

容易证明AF=AB=CN, AH=AC

假设$\angle BAC = \theta$, $\angle FAH = 180^o - \theta$

假设$\angle ABC = \angle 1$, $\angle ACM = \angle 2$

$$\angle 1 + \angle 2 = 180^o - \theta$$

现在$\angle ABC = \angle MCN = \angle 1$

因此

$$\angle ACN = \angle 1 + \angle 2 = 180^o - \theta = \angle FAH$$

我们现在有

$AH=AC$, $AF = CN$, 和$\angle ACN = \angle HAF$

所以

$$FH = AN = 2AM$$

QED