黑体辐射

原子物理

1.

热现象是与温度有关的现象，在热力学中温度是通过热平衡来定义的。设想将一高温物体置于空腔中，经过足够长时间后，物体和空腔腔壁将达到热平衡。物体和空 腔腔壁间热平衡是通过电磁辐射达到的，热的物体（温度不为0K）能够辐射电磁波本身并不奇怪，设想物质是由分子-原子组成的，分子-原子中都有正电和负电的部分，粗略看可看作是做无规则热运动的电偶极子的集合，因此热的物体一般而言应辐射出电磁波，这种达到热平衡状态的电磁辐射我们称之为热辐射。热辐射不会仅包含某特殊频率的光，一般而言应是关于不同频率具有不同强度的电磁波的分布。

显然对热辐射的研究是复杂的，它涉及热学、统计力学、电磁学这三个刚刚在19世纪发展完善起来的新学科，或者说只有在19世纪末，20世纪初关于热辐射的研究才成为可能。这是一个很困难的问题，吸引了很多科学家，特别是德国科学家们。

1859 基尔霍夫（Kirchhoff）利用热力学定律证明了基尔霍夫定律，对平衡态下的电磁辐射，物体表面上任一表面积辐射的能量应等于吸收的能量，即：$r(\nu, T)=\alpha(\nu) e(\nu, T)$，否则会发生能量的转移，使热平衡打破。

处在热平衡态下的电磁辐射，应是均匀（空间），恒定（时间）和各向同性的，其能谱密度为$u_T(\nu)$是一个与物质无关的普适函数，称为热辐射的标准能谱$u_T(\nu)$。

如果照到物体表面的全部能量总能都被物体吸收，则称之为黑体（black body），或绝对黑体，即：$\alpha = 1$。此时：$r(\nu, T) =\frac{c}{4} u_T(\nu)$，这意味着只需要测量黑体的辐射本领就可间接地测得热辐射的标准能谱。

关于本节的推导，请阅读：量子力学讲义，第二节；或赵凯华等著《新概念物理教程·量子物理》pp1-6；这里的推导很大程度上是基于光子气类比的，即把电磁辐射类比为全部以光速c运动的光子系统。

2.

在光子气类比的概念下，即把电磁辐射类比为速度为c，能量$h\nu$的粒子。我们使用三棱镜可把不同频率的光分开，然后用热敏电阻测量特定频率的辐射本 领。如果我们希望测量无规则热运动分子的速率的话，我们把分子束引导出来，然后用快速转动的圆柱体把不同运动速度的分子分开。一般而言，使用光子气类比总是有益我们理解的。

黑体辐射谱的实验规律可总结为：

（1）维恩位移定律，$\lambda_m T = C$，即在黑体辐射谱上存在最大值，当温度升高时黑体辐射谱上最大值向短波（高频）方向移动。这本身并不是一个罕见的现象，当我们观察高温的炉子时（如太上老君炼丹的炉子），随着温度的升高，炉子的颜色会按：赤橙黄绿青蓝紫，即光的最强部分将由长波向短波方向移动。作为一个练习，我们也可分别计算 6000K（太阳表面温度）和310K（人的体温）时分别对应的$\lambda_m$是多少。

（2）斯特藩-玻尔兹曼定律，即总辐射本领：$R(T) = \sigma T^4$，我们这里要注意辐射本领r是单位波长、单位时间、单位面积通过的能量，所以总辐射本领R还需对黑体表面积做积分才能得到单位时间通过的能量（即功率）。

利用斯特藩-玻尔兹曼定律我们可以做如下有趣的计算：假设太阳和地球都是黑体，已知太阳表面是6000K，估算地球表面的温度是多少。（计算过程请参考：Wiki: Black Body，计算结果为260K，有点偏小，但考虑到地球表面存在温室气体，地表温度实际上要比260K高。）

这个计算的意义是告诉我们，如果地球存在C基生命（即象我们人一样的生命），就必须处在冰点（273K）以上，同时温度又不能太高，因为我们这样的生命都是 以液态水存在为前提的。这样我们就可通过定量的计算说明只有拥有象太阳这种恒星，在象地球这样的行星上才可能产生我们这种生命。

关于黑体辐射实验规律的理论解释：

• 维恩公式，只适用于高频；

• 瑞利-金斯定律，只适用于低频，对于高频而言能量是发散的，称之为紫外发散。

根据维恩公式和瑞利-金斯定律，普朗克使用内插法得到了一个经验公式，很好地描述了黑体辐射谱的实验规律。但普朗克不满足于一个经验公式，试图找到对普朗克公式的理论解释。

在普朗克的时代，光被认为是电磁波，被麦克斯韦方程组很好地描述，因此设想光是粒子是不可能的。实际上普朗克也没有提出光子概念，他只是假设物质在发射和 吸收光时，只能以一份、一份的方式进行，而这一份称之为量子（quanta），$h \nu$。光子概念的明确提出要等到爱因斯坦解释光电效应的时候。

在普朗克的光量子假设下，利用电动力学和统计力学对理想导体谐振腔进行推导，即可推出普朗克公式。