斯特恩-盖拉赫实验

量子力学 斯特恩 盖拉赫

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有两种讲授量子力学的方式，一种是历史的方式，基本按时间次序交待上世纪量子力学创建过程中的关键进展，比如先介绍卢瑟福的散射实验，然后介绍普朗克的量子化，玻尔理论，进而讨论德布罗意的物质波概念，高潮部分是薛定谔的波动力学。

另一种是公理的方式，即用最少的实验事实建立量子力学的形式体系，引入狄拉克记号和矩阵力学。在量子力学II中我们将采用公理的方式讲授量子力学。这样讲授量子力学的好处是在数学上较清晰，方便我们后续发展种种方法系统地研究物理问题。

量子力学II和量子力学I研究的都是非相对论的单粒子问题，从物理内容上讲并无本质的增加。量子力学I多采用历史的方式讲授，大部分精力会花在波动力学上。而量子力学II会采用公理的方式讲授，它从一开始就要引入并使用狄拉克记号，主要使用矩阵力学（在历史上被认为比波动力学更抽象）讨论量子力学。

量子力学II的重点不在讨论物理学史上那些曾引发起无数争论和不可思议的实验，但完全不介绍实验事实也不可能，因为量子力学到底是一种物理理论，而非数学理论。费曼在其物理学讲义中通过双缝实验引入量子力学，而在樱井书中则是通过斯特恩-盖拉赫实验来引入量子力学的。

在双缝实验中我们很难接受粒子会像波一样行为，因为粒子在人们的日常经验中已经被强烈地规定了，我们很难把粒子想象为不像一块石头那样行为。但对斯特恩-盖拉赫实验而言就不存在这个“很难接受”的问题，因为我们本来叙述的就是一种非日常经验，我们只需把它当做一个黑盒子去想象就可以了。

通过斯特恩-盖拉赫实验会大大降低进入量子世界的门槛。

斯特恩和盖拉赫

斯特恩（Otto Stern）是学物理化学出身，犹太人，后来追随爱因斯坦学习理论物理，但其真正擅长的还是实验物理，斯特恩是最早发展分子束技术的科学家，他用这个方法直观地验证了气体分子确实是遵从麦克斯韦分布律的，并使用这个方法测定了银原子的磁矩，甚至是质子的磁矩等等。

1922年，他与盖拉赫（Walter Gerlach）合作，完成了斯特恩-盖拉赫实验。斯特恩做这个实验的初始动机是要验证玻尔提出的空间量子化（Space quantization）概念，即原子的磁矩只能取向于空间的分立方向上。当时人们认为原子磁矩来源于原子内部电子的轨道运动，电子延圆形或椭圆轨道围绕原子核运动就像环形电流一样会产生磁矩。空间量子化意味着这些圆形或椭圆轨道只能存在于特定空间取向的平面上。

但实际上斯特恩-盖拉赫实验却揭示出电子本身就具有磁矩，如果我们称因轨道运动所导致的磁矩是轨道磁矩的话，这种新磁矩就称之为自旋磁矩，轨道磁矩对应轨道角动量，而自旋磁矩则对应自旋角动量。此前人们已经知道轨道角动量量子数是取整数的，而斯特恩-盖拉赫实验却显示自旋角动量量子数是半整数（$1/2$）。这可以说是使物理学家大开眼界了，而且也完全超出实验的设计者斯特恩和盖拉赫的预想。

由于该实验在物理学史中的关键作用，斯特恩被授予1943年的诺贝尔物理奖（此前的1940，41，42正值二战最凶险的时刻，连续三年无人获奖，因斯特恩的犹太人身份，当时斯特恩已经逃到美国，并加入美国籍），而斯特恩本人则是被提名诺贝尔物理学奖次数最多的一位科学家，从1925-1943年他共获得了81次提名[1]。

有趣的是盖拉赫作为实验的关键合作者却未同时得奖，实际上盖拉赫在同时期也获得了30次提名，超过革末（Germer）、郎之万（Langevin）、外斯（Weiss）、梅特纳（Meitner）等同样未获得诺贝尔奖的著名物理学家的提名次数。但因德国“异议人士”卡尔·冯·奥西茨基1935年获得诺贝尔和平奖[2]，希特勒视之为对自己的羞辱，于1937年颁布法令禁止任何德国人领取任何诺贝尔奖，这使得正与纳粹合作的纯种日耳曼人盖拉赫很难有获奖的可能性。

非均匀磁场

实验的关键是“非均匀磁场”，斯特恩和盖拉赫制造了专门的具有特殊形状的磁铁，使得磁场基本就在$z$方向上，并且沿$z$方向上是非均匀的：

$$\begin{eqnarray} \vec B & = & B_z \hat z \\ \frac{\partial }{\partial z} B_z & \neq & 0 \end{eqnarray}$$

我们把一个磁矩$\mu$放到磁场里，其能量是：

$$\begin{equation} E(z) = - \mu \cdot B = - \mu_z B_z \end{equation}$$

磁矩在非均匀磁场里会受到一个$z$方向上的力：

$$\begin{equation} F_z = - \frac{\partial E(z)}{\partial z} = \mu_z \frac{\partial B_z}{\partial z} \end{equation}$$

$\mu_z$就是磁矩在$z$方向上的分量，实验采用的粒子是银原子，即把处于高温的银原子引出来，通过准直装置飞进非均匀磁场里。

银原子的原子序数是47，其电子结构可表示为：$[Kr] 4 d^{10} 5s$。

现在考虑银原子的磁矩，首先原子核的磁矩远小于电子的磁矩，这意味着我们只需要考虑银原子中电子磁矩的贡献，其次以我们今天的知识原子中满壳层或满亚壳层电子磁矩的贡献正好互相抵消（轨道磁矩和自旋磁矩都会抵消），这样我们就可判定银原子的磁矩主要来自$5s$电子的贡献。

对$s$轨道而言，轨道角动量为0，这样电子的轨道磁矩也没有了，唯一有贡献的就是$5s$电子的自旋磁矩，换句话说银原子就其磁学性质而言，它就是一个自旋$1/2$的小磁针（银原子束将分裂为上、下两束），只不过它比较重，远重于单电子的质量。

根据银原子束分裂的大小，我们可以把银原子的磁矩表示为：

$$\begin{equation} \mu_z = - \frac{e}{2m } s_z \end{equation}$$

这里$m$表示电子的质量，而$s_z = \pm \frac{1}{2} \hbar$，即银原子磁矩的取值有两种可能性，一正一负，或说延$z$方向一上一下，相应地银原子在非均匀磁场里的受力也是两种，延$z$方向的一上一下。这就解释了银原子在非均匀磁场里的分裂。

连续的斯特恩-盖拉赫实验

对我们的物理世界，选哪个方向是$z$方向是任意的，可以设想同样的实验对$x$或$y$取向的非均匀磁场也同样成立，即对$x$方向的非均匀磁场，我们会发现银原子会分裂为$x$正向和负向相同比例的两束，对应的就是自旋角动量在$x$方向上取$s_x = \pm \frac{1}{2} \hbar$的两类银原子。

真正有意思的是连续的斯特恩盖-拉赫实验，比如：我们可以让一束银原子通过$z$方向非均匀的磁场（记作SGz），得到在$z$方向分裂的两束，比如我们遮挡上其中一束，比如$s_z = - \frac{1}{2} \hbar$（$s_z -$），我们让$s_z = \frac{1}{2} \hbar$的那一束（$s_z +$）再次通过SGz装置，我们会发现从第二个SGz中出射的就只有$s_z +$的部分了。

这说明$s_z = \pm \frac{1}{2} \hbar$是互相排斥的两类，其分类标准由SGz装置定义，同时在此分类标准下分为两类又是个完全的分类（因为银原子只分裂为两束）。

我们可以让$s_z +$的成分继续通过一个$x$方向的非均匀磁场（SGx装置），此时发现银原子仍会分裂为延$x$方向正、负各50%的两束。

这个结果是容易被人们接受的，这就相当于我们用不同于SGz所定义的分类标准对$s_z +$的成分进行第二轮筛选，其结果是分为$s_x = \pm \frac{1}{2} \hbar$（$s_x \pm$）两类。

我们可以把$s_x -$的成分遮挡住，只引出$s_x +$的成分，使之再次通过$z$方向的非均匀磁场（SGz），现在的问题是银原子是会分裂为$s_z \pm$两束，还是只有$s_z +$一束？

直觉上我们会觉得只会得到$s_z +$一束，但实验结果却是仍然分裂为$s_z \pm$两束。这里我们选择充分相信实验的结果，不去质疑实验的设计与细节，在此前提下我们应如何理解这个结果呢？

从分类的角度，这里涉及两个不同分类标准，一个是$SGz$，一个是$SGx$，第一次筛选，我们只筛选出$s_z +$的成分，然后我们继续分类，换之以$SGx$标准，得到$s_x \pm$两类，但问题是在我们进行第二次分类的时候，银原子是否能够继续保持$s_z +$这一状态呢？

在量子力学I中，我们会说由于算符$s_z$和$s_x$是不对易的，因此不存在$s_z$和$s_x$同时取确定值的量子态（自旋量子数$s=0$的情形除外）。即如果我们知道银原子处在比如$s_x +$的状态，它就不可能同时处于$s_z +$的状态了。这说明理解斯特恩-盖拉赫实验对理解量子力学很重要。

理解新事情总是通过将其比拟为另一个（更熟悉的）事情来达成。比如连续的斯特恩-盖拉赫实验之所以难理解，是因为我们会把$s_z$和$s_x$想象为一个向量的在不同方向上的投影，这样$s_z$和$s_x$同时取确定值就是好理解的，而无法同时取确定值就是无法理解的。

光学类比

通过光学类比我们可以获得这种理解。

光波是电磁波，电磁波是横波，电场分量$\vec E$和磁场分量$\vec B$振荡的方向与电磁波传播的方向$\vec k$垂直。这样对电磁波而言就有了偏振的概念。

求解电磁波方程，会得到这样的关系[3]，

$$\begin{equation} \vec B = \frac{1}{c} \vec k \times \vec E \end{equation}$$

这里$c$是真空中得光速，这意味着对电磁波而言，我们只需考虑电场分量$\vec E$就够了。

x-偏振光：

$$\begin{equation} \vec E_x = E_0 \hat x \cos (k z - \omega t ) \end{equation}$$

y-偏振光：

$$\begin{equation} \vec E_y = E_0 \hat y \cos (k z - \omega t ) \end{equation}$$

偏振片能吸收特定方向振荡的电磁波，比如x-偏振片能吸收所有垂直于$x$方向的电场的能量，而让平行于$x$方向的电场的振荡穿透过去。我们可以通过旋转偏振片的方向使透射的光具有特定的偏振方向。

比如我们可以让x-偏振片逆时针旋转$45^o$得到x'-偏振光，继续旋转$90^o$得到y'-偏振光。

$$\begin{eqnarray} \vec E_{x'} & = & \frac{E_0}{\sqrt 2} (\hat x + \hat y) \cos (k z - \omega t ) \\ \vec E_{y'} & = & \frac{E_0}{\sqrt 2} ( - \hat x + \hat y) \cos (k z - \omega t ) \end{eqnarray}$$

x/y-偏振光和x'/y'偏振光是对电磁波的两种不同分类方式，它们分别都是既不遗漏也不重复的分类方式。即x-偏振光中没有丝毫y-偏振光的成分，y-偏振光中也没有丝毫的x-偏振光的成分。

我们现在可以构造一个连续的偏振片的实验来类比连续的斯特恩-盖拉赫实验：首先让一束自然光通过x-偏振片，得到x-偏振光（对应$s_z +$），然后继续通过x'-偏振片，得到x'-偏振光（对应$s_x +$），最后使之通过y-偏振片。最终会有y-偏振光（对应$s_z -$）射出吗？

答案是肯定的，并且很容易理解，对x-偏振光而言，电场振荡的方向在$x$方向上，x-偏振光穿过x'-偏振片意味着垂直于$x'$方向的光会被吸收，而平行于$x'$方向的光会穿透出来，电场强度应是$\vec E_x$向$x'$方向做投影，因子为$\frac{1}{\sqrt 2}$，由于光强正比于电场强度的平方，因此正好有50%的光会穿透过来。

现在，穿过x'-偏振片光的电场就在$x'$方向上了，再继续穿过y-偏振片，就是向$y$方向做投影，这样会再次得到因子$\frac{1}{\sqrt 2}$，...

这样我们就可以对银原子的量子态（即自旋1/2的量子态）建立起一个数学表示，我们用一个二维的列向量来表示自旋1/2的量子态，$s_z +$的态对应x-偏振光，我们把它表示为：

$$\begin{equation} \left| s_z + \right\rangle = \left| + \right\rangle = \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{equation}$$

类似地，用y-偏振光对应的二维列向量来表示$s_z -$的态：

$$\begin{equation} \left| s_z - \right\rangle = \left| - \right\rangle = \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{equation}$$

用x'-偏振光对应的二维列向量来表示$s_x +$的态：

$$\begin{equation} \left| s_x + \right\rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \end{equation}$$

用y'-偏振光对应的二维列向量来表示$s_x -$的态：

$$\begin{equation} \left| s_x - \right\rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \left( \begin{array}{cc} -1 \\ 1 \end{array} \right) \end{equation}$$

最后还剩两个态$s_y \pm$，我们用圆偏振光（右旋和左旋）对应的二维列向量来表示：

$$\begin{equation} \left| s_y \pm \right\rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \left( \begin{array}{cc} 1 \\ \pm i \end{array} \right) \end{equation}$$

这意味着我们可用二维复系数线性向量空间中的一个向量来表示一个自旋1/2的量子态。

参考

J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, $\S$ 1.1

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