@jiyanjiang 2015-11-10T14:07:54.000000Z 字数 2056 阅读 5074

黑洞的史瓦西半径和潮汐力——基于经典力学的估算

黑洞 潮汐力 经典力学

黑洞的史瓦西半径

假设物体的质量是 $m$ ，黑洞的质量是 $M$ ，我们只使用经典力学。

物体的能量：

E = T + V (1)

$\begin{equation} E=T+V \end{equation}$

物体在黑洞附近的势能：

V = - G M m r (2)

$\begin{equation} V = -\frac{GMm}{r} \end{equation}$

物体的动能：

T = m v 2 2 (3)

$\begin{equation} T = \frac{m v^2}{2} \end{equation}$

假设物体运动速度存在上限——光速（ $c$ ）——物体动能存在上限：

T m = m c 2 2 (4)

$\begin{equation} T_m = \frac{m c^2}{2} \end{equation}$

假设物体自由， $E \ge 0$ ，这意味着，物体距离黑洞半径存在下限：

m c 2 2 - G M m r \geq 0 (5)

$\begin{equation} \frac{m c^2}{2} - \frac{G M m}{r} \ge 0 \end{equation}$

这个半径的下限，即黑洞的史瓦西半径（也是黑洞视界的大小）：

r s h = 2 G M c 2 (6)

$\begin{equation} r_{sh} = \frac{2GM}{c^2} \end{equation}$

把 $r_{sh}$ 表示成与太阳质量 $M_{sun}$ 的关系：

r s h = 2 G M s u n c 2 M M s u n (7)

$\begin{equation} r_{sh} = \frac{2 G M_{sun}}{c^2} \frac{M}{M_{sun}} \end{equation}$

太阳的质量： $M_{sun } = 1.988 \times 10^{30 } kg$ ；万有引力常数： $G = 6.67 \times 10^{-11} N m^2 / kg^2$ ；光速： $c = 2.998 \times 10^8 m / s$ 。

r s h = 2.95 M M s u n \times 103 m (8)

$\begin{equation} r_{sh} = 2.95 \frac{M}{M_{sun}} \times 10^3 m \end{equation}$

引力

F = G M m r 2 (9)

$\begin{equation} F = \frac{G M m}{r^2} \end{equation}$

物体 $m$ 距离黑洞中心距离不同（ $r$ 不同），引力大小是不同的。真实的物体，比如人都是有一定大小的，最简单的模型是把人想象为两个质量为 $m_0$ 的质点，相距 $\Delta r$ ，通过一根“弹簧”联系起来。

靠近黑洞的质点（近端）将会比远离黑洞的质点（远端）受到一个更大的力，这将会使近端更快地落向黑洞，因此“弹簧”会被拉长，人会感受到一个被撕扯的力，这就是潮汐力。如果人离引力中心较远，这个力就不会很大。

Δ F = - 2 G M m r 3 Δ r (10)

$\begin{equation} \Delta F = - \frac{2 G M m}{r^3}\Delta r \end{equation}$

为了估算这个撕扯力的大小，我们假设 $m_0 \sim 100 kg$ ， $\Delta r \sim 1 m$ ， $r \sim r_{sh}$ 。

Δ F \sim 1.0 \times 10 12 ( M / M s u n ) 2 (N .) (11)

$\begin{equation} \Delta F \sim \frac{1.0 \times 10^{12}}{(M/M_{sun})^2} (N.) \end{equation}$

这意味着当人在进入象卡冈图亚（Gargantua）那么大的黑洞时，几乎感受不到潮汐力，但随着距离引力中心越来越近，潮汐力会按 $r^{-3}$ 的幂律迅速变大。最终人会被这个力撕碎。

需要声明以上估算是基于经典力学的。严格说，我们这里所有的计算都应从广义相对论的方程出发，这种估算也没法反映靠近黑洞视界的时间膨胀问题。

打赏0.99RMB

关注奇迹笔记

获取本文：关注奇迹笔记后，输入“经典黑洞”