同律度量衡——物理、音乐和政治秩序

度量衡 音乐理论

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律指音律的标准，度指长度的标准，量指容量的标准，衡指重量的标准。所谓同律度量衡就是由规范音律出发进而规范度量衡。规范律度量衡是建立古代政治秩序的基础。人类最早是在音律中感知到数字规律的存在的，相信数字可规范人间的生活是一种强大的信念，蕴含着理性的精神，这种信念和精神既存在于古代的西方，也存在于古代的东方。

@季燕江

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度、量、衡

概念辨析几乎总是从查字典开始，通过查字典我们可洞见概念之发生，而概念之发生即一部浓缩的概念史，这一工作可使我们跳出此时此地的局限，而获得一种超越的视野。

此一工作必以母语展开，或以母语展开将使我们获得更多教益。

查王力先生著《古汉语常用字字典》

量：本指量器。《论语·尧曰》：“谨权量，审法度。”（p237）

权是秤锤，这里是以部分指代整体，即以秤锤指代秤。（p319）

量是量器，量器是用来计量流体的容积。权是秤锤，秤锤是用来秤固体的重量。

不论容积还是重量都是在讲“多少”，即拉丁语中的quantus，[拉丁] 多少}，容积对应今天物理中的体积，重量对应今天物理中的重力，这种概念区分在今人眼里是非常清晰的，但在古人那里则未必，具体到权和量，我们发现它们其实有共同的概念起源，或实用的目的，即：解决多少和分配的问题，但因对象的不同，对流体或固体，我们应有不同的技术方案。

所谓流体并非是真正的流体，而是——借用今天物理学的语言——颗粒物（Granular material），我们用量器量黍（小米）的多少。

小米是中国古代主要的粮食作物。

因为小米很小，只有1-2mm大小，很多小米的聚集就像流体一样容易改变形貌，我们用勺舀一勺米，然后再刮平，就得到了一份标准“多少”的份额。

中国古代是农业社会，对农业社会而言，建立并维持秩序的关键是“耕战”。

“耕”养活更多战士，更多战士则可“战”、并胜之，东周时期有频繁的长距离大规模国战，这说明当时各强霸之国都拥有相当雄厚的“耕战”能力，而这背后自然是制度，其中首当其冲的是要有一套可靠的权量规范。

《汉书·律历志》中说：“量者，龠、合、升、斗、斛也，所以量多少也……”

“龠、合、升、斗、斛”是五种容积单位，即所谓五量。

耕需要农具、战需要兵器，这些都是用金属打造的，东周时则主要是青铜。

权衡轻重。轻重和容积一样都是想用数字说明多少，并予以簿记和管理，对固体而言，通过量器量体积来说明多少是不可能的，此时用秤，利用杠杆定理来权就是必须的。

与五量相对，《汉书·律历志》中有五权，即五种关于重量的单位，“铢、两、斤、钧、石”。

这里斤，本意是斧头，作为一种常见兵器成为重量的单位。

铢有金字边，也提示我们“权、重”与青铜这种固态材料的初始关联，比如：三铢钱指用重三铢青铜所铸造的铜币。五铢钱又名半两钱，指用五铢青铜所铸造的铜币。

钧：是金字边，同时钧也是一种权重的工具。

石：最有意思，查字典（p345），它既是容量的单位，十斗为一石。同时也是重量的单位，一百二十斤为一石。《汉书·律历志》：“三十斤为钧，四均为石”。

这提示我们从概念上区分容量和重量在古人那里是第二位重要的，他们首要关心的还是个多少的问题，一石黍可喂饱多少战士是他们最关心的，对少量的黍而言，计量容积是便捷的，但随着量的增加，这种便捷性会逐渐降低，最后他们干脆就用秤去权，对一石黍这个量，开包量容积显然就不如不开包整个秤称来的方便。

“谨权量，审法度”，这里还有个度，法度有宽松，宽松是讲长度的。

查字典，度：音duo2，量长短。《孟子·梁惠王上》：“度，然后知长短。”引申则为量长短的标准。（p88）

度是对长度而言的，法度之度是对长度之度的引申用法。

长度的单位是“分、寸、尺、丈、引”，即所谓五度。

由此一句“谨权量，审法度”，我们就得到了“度、量、衡”三个概念。度是对长度的规范，量是对容积的规范，衡是对重量的规范。

这些在古代世界，正是建立和维持秩序的基础，具有根本意义。

正是因为这种根本意义，关于“度、量、衡”的规范必须镶嵌、内构在其他规范之中，它们整体形成一个整全、严密的体系。任何规范都有主观、人为的因素，现在除了实用之外，又加进了整全、严密的要求，这一要求是建立大规模统治秩序必须的。

因此这一工作就具有高度的理论倾向，或高度的形而上学倾向，它的使命是由少数几条不证自明，广为人接受的基本原则出发衍生构造出一整套无所不包，相互关联的可以整饬人世生活、建立有效统治的基本规范汇编。

传说是舜建立了关于度量衡的规范。《尚书·舜典》[1]中说：

岁二月，东巡守，至于岱宗，柴。望秩于山川，肆觐东后。协时月正日，同律度量衡。

这里的律是律管，就是两端开口，有固定粗细、长度规格的管子，最早可能是芦苇管，竹管，后来则是铜管。用嘴吹固定长度的管子，管中空气激荡，发出特定频率（音高）的声音，这是管乐的物理基础。

舜通过规定音律来规范度量衡标准。这有相当的科学精神。今天我们也是通过原子钟（Atomic Clock）来规定时间/频率的标准，频率是时间的倒数，频率的标准就是时间的标准。1秒的现代定义是“铯133原子在两特定能级间跃迁发出光振动周期的9192631770倍[2]”。有了时间的标准，进而定义长度的标准，今天我们对1米的定义是这样的：“光在真空中于1/299792458秒内行进的距离。”

弦上的振动

常见的弦乐器有：提琴、琵琶等。弦乐是靠张紧的弦振动发出声音。所谓张紧的弦指的是我们把弦的两端固定，然后拉紧弦，使具有一定张力。

我们知道声音的高低与弦张进的程度有关，张的越紧声音就越高，或用物理的语言说就是频率越大，弦的形状是均匀细长的，但可以有不同的粗细。如果我们构造一个关于弦的模型的话，这些因素都要考虑。

在构造模型之前，我们先来说明“什么是振动？”

振动

振动就是重复，特别地就是一种精确的重复。

这种精确的周期性重复是我们具有时间感的基础。

比如：每二十四小时，太阳重复地从东方升起，重复地在天空中划过一个半圆……

我们选择正圆来表示这样一种精确的重复，

点$P$围绕圆心$O$，以半径$r$，逆时针地，均匀地转动。

正圆是点在二维空间（$x-y$平面）上匀速转动的轨迹，写成方程是：

$$\begin{equation} x^2 + y^2 = r^2 \end{equation}$$

这种转动是均匀的，我们在任何时刻睁开眼，关注点$P$的运动，我们看到的都是一样的，即点$P$逆时针地围绕$O$转一圈。

点$P$围绕$O$转一圈所花费的时间$T$，就是周期（Period）。

时间的单位是秒（$s$），转一圈可能用时：$0.01s, 0.1s, 1s, 10s$, 或$100s$。

$0.01s$转一圈，意味着转的很快，这是相对于$1s$转一圈而言的。

周期$0.01s$，意味着1秒点P可转动100圈，而周期$1s$，意味着1秒点$P$只能转1圈。周期越短，点$P$的转动越快。

这意味着：

点$P$转动的快慢和周期$T$成反比。

写成数学式子就是：

$$\begin{equation} f=\frac{1}{T} \end{equation}$$

这里$T$是周期，单位是秒（$s$），$f$是频率，单位是赫兹（$Hz$, 即$s^{-1}$）。

频率（Frequency）的物理含义是：单位时间（1秒内），重复运动的次数。

对正圆运动而言，转动一圈，点$P$的方位改变了$2\pi$，或一个圆本身从任意一点开始，转一圈再回到初始位置，这张成了一个$2\pi$的角度。

因此，我们也可定义角频率（Angular Frequency）：

$$\begin{equation} \omega = \frac{2\pi}{T} \end{equation}$$

我们一般用$\omega$表示角频率, 即：

单位时间（比如1秒）内，点$P$转过的角度有多少。

角频率的单位也是赫兹（$Hz$或$s^{-1}$）

假设点$P$在$t=0$时刻时，位于$x$轴的正方向上，然后以角频率$\omega$，逆时针地围绕原点$O$旋转。

时刻$t$时，点$P$所在的方位角（$\varphi$）是：

$$\varphi = \omega t$$

此时点$P$在$x-y$平面上的坐标是:

$$\begin{eqnarray*} x & = & r \cos \omega t \\ y & = & r \sin \omega t \end{eqnarray*}$$

我们单独看$x$方向上的运动：

$$\begin{equation} x = r \cos ( \omega t + \varphi_0 ) \end{equation}$$

这也是一种精确的往复运动，我们称之为简谐振动（Harmonic Oscillation）。

我们一般用$\sin$（正弦函数）或$\cos$（余弦函数）表示简谐振动。

对正弦函数:

$$y = \sin x$$

我们称$x$为相位（Phase），这个名称由月亮的圆缺——月相（Lunar eclipse）——而来，月球围绕地球的转动导致地球会周期性地遮挡太阳投射到月球上的光，因此造成了从地球上看到的月亮的周期性的圆缺变化。

在此意义下，当$t=0$时，对$x = r \cos ( \omega t + \varphi_0 )$而言，相位是：

$$\varphi_0$$

我们称$\varphi_0$为初相位。

下面我们将可证明弹簧的振动，琴弦的振动等都可用正弦或余弦函数表示，即简谐振动。

弹簧振子

弹簧，忽略弹簧本身的重量，末端悬挂一个质量为$m$的物体。

假设弹簧的弹性系数为$k$，弹簧偏离平衡位置$x$，此时物体$m$的受力为：

$$\begin{equation} F= -kx \end{equation}$$

这里的负号表示力（$F$）的方向与偏离平衡的位移（$x$）相反，即：弹簧向右拉伸，力的方向就向左，而弹簧向左压缩，力的方向就向右。

根据牛顿第二定律：

$$\begin{equation} F=ma \end{equation}$$

即力等于质量乘以加速度。我们知道加速度是有方向的，力也是有方向的，因此上式是个向量方程。

加速度（$a$）是对时间的二阶导数，作为记号（Notation），我们把$a$记为：

$$\frac{d^2 x}{dt^2}$$

这是莱布尼茨的记法。

或者把$a$记为：

$$\ddot x$$

这是牛顿的记法。

看上去每种记号只是样子的区别，其含义精确地相同，选择哪种记号只是习惯的问题，但实际上记号的选择远比我们想象的重要。人的思维即便在抽象的数学里，在抽象的符号运算里，仍然依赖于“形状、位置”等视觉因素，好的记号会帮助我们思维，帮助我们建立在数学、在符号运算中的直观。

在理论物理研究中，发明合适的记号法则去表达越来越抽象的物理思维本身就是研究中重要的工作，甚至是最重要的工作，比如量子力学中的狄拉克记号等。记号法则与物理思维的关系就好比语言和思考一样，没有语言我们就无法思考。

列出质量$m$满足的方程，使用牛顿的记号。

$$- kx = m \ddot x$$

把所有的项都移动到方程的同侧：

$$\begin{equation} m \ddot x + kx = 0 \end{equation}$$

这是一个关于$x$的二阶常微分方程，假设:

$$\omega^2 = \frac{k}{m}$$

我们把方程改写为：

$$\begin{equation} \ddot x + \omega^2 x = 0 \end{equation}$$

这个方程的解就是我们刚刚讨论过的正弦、余弦振动：

$$\begin{equation} x(t) = A \cos (\omega t + \varphi_0) \end{equation}$$

对二阶常微分方程，我们有两个待定的常数，$A$和$\varphi_0$。$A$的含义是振幅，即$x$随着时间的变化是有界限的，这个界限是从$-A$到$A$。$\varphi_0$的含义刚刚讨论过，是初始相位，即当$t=0$时，相位的取值。

为了讨论的方便，下面取: $\varphi_0 = 0$，即：

$$x(t) = A \cos \omega t$$

这里$\omega$是角频率，表示弹簧振子往复振动的快慢：

$$\begin{equation} \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \end{equation}$$

弹簧从$A$振动到$-A$，然后再回到$A$是正好一个周期$T$,

$$\begin{equation} T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{ \frac{m}{k}} \end{equation}$$

对位置$x(t)$取一阶导数，得到速度$\dot x$：

$$\begin{equation} \dot x = - \omega A \sin \omega t \end{equation}$$

时刻$t=0$时，速度最小，

$$\dot x (t=0) =0$$

当$\omega t = 2 \pi$时，速度达到最大，其大小是：

$$\begin{equation} v_{max} = \omega A \end{equation}$$

下面我们来分析弦上的振动。

弦的振动

首先我们需要建立模型。

我们考虑两端固定，张紧，具有均匀质量分布的细长弦。

• 张紧，意味着延弦的方向存在张力$T$。

• 假设弦的密度为$\rho$，弦的截面积为$S$，均匀质量分布的细长弦，意味着$\rho$，$S$与位置无关，到处都一样。

• 细长弦，$S$很小，我们忽略重力对弦运动的影响。

关于张力（Tension），我们可多说几句。

• 这是个起源于自然现象的概念，不仅用于物理，也用于其他领域，比如批评。

• 张力可以存在于张紧的弦，也可以存在于膜，比如肥皂泡。弦是一维的，膜是二维的。对膜而言，我们也说表面张力（Surface tension）。

• 一维只有两个方向，比如我们在想象中从张紧的弦里截取出一小段，对这一小段弦，我们来分析它的受力，因弦是张紧的，在弦的左侧端点，这一小段弦会受到一个向左的拉扯力，而在弦的右侧端点，弦将受到一个向右的拉扯力，这两个力大小相等（比如都是$T$），方向相反，因此张紧的弦里的任意一小段都处在平衡的状态。

• 还有更有趣的现象，现在假设弦上站着一个走“钢丝”（这里钢丝就是弦）的人，这个人就是“我”，我在弦上走来走去，想呆在任意我想呆的地方，或我想找个让我最舒服的位置呆着，这种追求我们姑且称之为“自由”（Freedom），即我想在左右冲突的观念纷争中找到使我最舒服的立场。

• 只要弦上的张力$T$足够大，我们就能获得自由。在比喻的意义下，我们会同意，激烈的观念对立、纷争并非坏事，我们籍此思想场域内的张力可获得思想的自由、选择的自由等等。

• 用表面张力说这个比喻更好，假想张紧的膜上的一小块膜，这一小块膜会被它相邻的膜从所有的方向拉扯，是这种机制使蜉蝣可以站在水面上，行走，得自由。

是相同的机制使我们获得弦振动的方程。

假设弦从$0$伸展到$L$，我们延从$0$到$L$方向建立$x$坐标。

如果不拨弄弦，弦上每点将处于平衡状态，现在延垂直于弦的方向拨动弦，弦对平衡状态的偏离用$q(x)$表示，其含义是：

弦在$x$位置延垂直于$x$方向偏离平衡位置$q(x)$。

现在考虑弦上的某一小段，从位置$x$到$x+dx$的一小段。

弦上每一点上张力都是$T$，假设弦对平衡位置的偏离很小，这个偏离不足以改变弦上的张力。

对弦的左端，即位置$x$，弦受到一个向左下倾斜的力。其大小为：

$$F_{q}(x) = T \sin \theta(x)$$

对弦的右侧，即位置$x+dx$，弦受到一个向右上方向倾斜的力。其大小为：

$$F_{q}(x+dx) = T \sin \theta(x+dx)$$

这一小段弦在垂直方向（即$q$方向）的受力为：

$$dF_q(x) = T \sin \theta(x+dx) - T \sin \theta(x)$$

考虑：

$$T \sin \theta(x+dx) = T \sin \theta(x) + dx \frac{\partial}{\partial x} T \sin \theta(x)$$

因此:

$$dF_q(x) = dx \frac{\partial}{\partial x} T \sin \theta(x)$$

考虑弦对平衡状态的偏离很小，

$$\sin \theta(x) \approx \tan \theta(x) = \frac{d q(x)}{d x} = \frac{\partial q(x)}{\partial x}$$

现在：

$$\begin{equation} dF_q(x) = dx T \frac{\partial^2 q(x)}{\partial x^2} \end{equation}$$

对这一小段弦而言，质量是：

$$\rho S dx$$

并满足牛顿第二定律：

$$dx T \frac{\partial^2 q(x)}{\partial x^2} = \rho S dx \ddot q(x)$$

现在假设：

$$\begin{equation} c^2 = \frac{T}{\rho S} \end{equation}$$

得到标准的波动方程（Wave Equation）：

$$\begin{equation} \frac{\partial^2 q(x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 q(x,t)}{\partial t^2} \end{equation}$$

弦上某点对平衡位置的偏离，与$x, t$都有关，我们把$q$记为$q(x,t)$。波动方程涉及两个变量，一个是$x$，一个是$t$，我们把涉及多个变量的微分方程称为偏微分方程。

波动方程求解的目标是$q(x,t)$，其含义是：

弦上每一点偏离平衡位置随时间和空间的分布。

我们可以把这个概念推广，由位移$q$推广为某个物理量$A$，这就得到了场的概念。我们可研究温度随时空的分布，就是温度场。我们也可研究电场强度和磁场强度随时空的分布，这就是所谓电磁场。

偏微分方程的求解有几种标准的方法，分离变量法（Separation of variables）是其中之一。

现在我们尝试地[3]用分离变量法来求解波动方程。

我们把待求$q(x,t)$写成只与变量$x$有关的部分$X(x)$，和只与变量$t$有关的部分$T(t)$的乘积：

$$\begin{equation} q(x,t)=X(x)T(t) \end{equation}$$

代入波动方程后得到：

$$\begin{equation} T \frac{d^2 X}{dx^2} = \frac{1}{c^2} X \frac{d^2 T}{dt^2} \end{equation}$$

方程两边同除$XT$，得到：

$$\begin{equation} \frac{c^2}{X} \frac{d^2 X}{dx^2} = \frac{1}{T}\frac{d^2 T}{dt^2} \end{equation}$$

这个方程的特点是方程左侧只与变量$x$有关，方程右侧只与变量$t$有关，要使等号成立，方程左右两侧必须都等于一个常数，假设这个常数是$\mu$，这样我们就得到了两个联立的方程：

$$\begin{eqnarray} \frac{1}{T}\frac{d^2 T}{dt^2} & = & \mu \\ \frac{c^2}{X} \frac{d^2 X}{dx^2} & = & \mu \end{eqnarray}$$

我们可以假设这个常数或者是大于零的，或者是小于零的。

前者意味着：$\mu = \alpha^2$，这种情况解是$e$指数型的（Exponential）。即：

$$X(x)=Ae^{\alpha x}+Be^{-\alpha x}$$

$A$, $B$必须同时为零，否则$X(x)$将会在左侧无穷或右侧无穷趋于无穷大，物理的语言叫发散，这是不可能的。

当然，我们这儿，弦只存在于从$0$到$L$处，弦在左右两侧是被固定死的，这意味着：

$$q(0)=q(L)=0$$

考虑到这个限制，$\mu = \alpha^2 > 0$的解仍然是无意义的；$\mu = - \omega^2 < 0$的解是唯一可能的。

$$\begin{eqnarray} \frac{1}{T}\frac{d^2 T}{dt^2} & = & -\omega^2 \\ \frac{c^2}{X} \frac{d^2 X}{dx^2} & = & -\omega^2 \end{eqnarray}$$

即：

$$\begin{eqnarray} \frac{d^2 T}{dt^2} + \omega^2 T & = & 0 \\ \frac{d^2 X}{dx^2} + \frac{\omega^2}{c^2} X & = & 0 \end{eqnarray}$$

这两个微分方程在形式上与我们之前求解过的弹簧振子一样。

关于$T$的微分方程解出是：

$$T(t) = A \cos ( \omega t + \varphi_0 )$$

关于$X$的微分方程解出是[4]：

$$X(x)= B \sin (\frac{\omega}{c} x + \theta_0 )$$

这里$\omega$是角频率；$\frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{c T} = \frac{2\pi}{\lambda} = k$，$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$，是波矢（Wave vector）。波矢$k$表示物理量随空间振荡的激烈与否，这里的特征长度是波长$\lambda$，每$\lambda$长度物理量会振荡一个来回，$\lambda$越小，物理量随空间的振荡越激烈。

把$X$、$T$合在一起：

$$\begin{equation} q(x,t)= C \sin ( k x + \theta_0 ) \cos ( \omega t + \varphi_0 ) \end{equation}$$

这里有三个待定系数$C$，$\theta_0$和$\varphi_0$。

考虑边界条件：$q_{x=0} = q_{x=L}=0$，解出：

$$\begin{eqnarray*} \theta & = & 0 \\ L & = & \frac{n \lambda}{2}, n = 1, 2, ... \end{eqnarray*}$$

由此可解出角频率（$\omega$）：

$$\begin{equation} \omega = \frac{n \pi c}{L} \end{equation}$$

这里$c=\frac{\omega}{k}=\frac{\lambda}{T}$，是弦上横波[5]传播的速度，其大小根据先前的推导是：

$$\begin{equation} c = \sqrt{\frac{T}{\rho S}} \end{equation}$$

由此解出弦振动的频率（$f$）:

$$\begin{equation} f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho S}} \end{equation}$$

这里$L$是弦的长度；$S$是截面积，表示弦的粗细；$T$是张力，表示弦的松紧；$\rho$是弦的密度，和弦本身的材质有关。

由此我们可作一些讨论：

1.

音乐与人的身体结构（比如耳的结构），及人脑对声音信息的处理整合有关。人对音乐的感知和音高（Pitch）有关，音高对应的是频率。频率越高，声音就越嘹亮，相反频率越低，声音就越低沉。

频率高一倍（$f \to 2f$），我们就说“音高”高了八度（Octave），相反频率低了一半（$f \to f/2$），我们就说“音高”低了八度。

2.

对弦乐，音高与弦的长度（$L$）成反比，在其他因素不变的前提下，弦的长度决定音高，$L \to L/2$，音高就高八度，$L \to 2L$，音高就低八度。

$n=1, 2, 3, ...$对应一系列声音，我们主要听到的是$n=1$的音，这个叫基音（Fundamental tone），$n=2, 3, ...$等一系列的声音相当于$L/2$或$L/3$长度的弦在振动，这些音叫泛音（Overtone），泛音是我们的听觉不容易听到的。

主观上，我们依然会感觉相差八度的音（即频率双倍的关系）是相像的，或者我们说：每隔八度就是一个循环。

在每个循环里我们可以辨识出几个可以辨别的声音，这几个声音音高不同，但感觉上相互之间是“等距”的，这一系列音高不同的声音就构成了一个个声音的台阶。

把这种结构比喻成一个旋转的楼梯，我们可以每5个台阶使音高上升八度，也可以每7个台阶使音高上升八度。前者是五声体系（Five tone system）（宫、商、角、徵、羽），后者是七声体系（Seven tone system）（1，2，3，4，5，6，7，即：do, re, mi, fa, sol, la, si）。

还有所谓十二平均律（Equal temperament），即把八度分成12个成比例的部分

$$..., \frac{f_{11}}{2}, \frac{f_{12}}{2}, f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6, f_7, f_8, f_9, f_{10}, f_{11}, f_{12}, 2f_1, 2f_2, ...$$

因为成比例，假设：

$$\frac{2f_1}{f_{12}} = \frac{f_{12}}{f_{11}} = ... = \frac{f_2}{f_1} = q$$

$f_1$的高八度，$2f_1$，可表示为：

$$2f_1= \frac{2f_1}{f_{12}} \cdot f_{12} = \frac{2f_1}{f_{12}} \frac{f_{12}}{f_{11}} \cdot f_{11} = ... = q^{12} \cdot f_1$$

即：

$$\begin{equation} q^{12} = 2 \end{equation}$$

可见求“十二平均律”的困难在于“开方”，

$$\begin{equation} q=2^{\frac{1}{12}} \end{equation}$$

中国明代的音乐家朱载堉（1536-1610）是第一个解决此问题的人。

$$\begin{equation} q = 1.059463094359295264561825 \end{equation}$$

“十二平均律”内在于人的听觉，这就好比我们的视觉能够分辨“赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫”一样，朱载堉的工作则是把这种人内在的感觉与数字建立起关系。当然这不纯粹是主观的，因为人具有相同的生理结构和大致相同、可以交流的情感模式。

从毕达哥拉斯到朱载堉，人类率先从音乐这种即不纯粹客观、冷冰冰，也不纯粹主观、不可交流的现象中发现了数字，“万物皆数”（All things are numbers），表面看起来纷纭复杂，背后却存在简单、确定的数字关系。

十二平均律基本达到了人耳普遍能分辨的极限。在此意义下我们可把五声体系，七声体系映射为十二声体系的一个子集。

利用十二平均律能谱写出最斑斓丰富的音乐，但五声、七声一样能构造出好听的音乐，比如著名民歌“茉莉花”（Jasmine）就是基于五声体系的。

3.

中国古代的十二声体系叫做十二律（Twelve tone）：“黄钟－大吕－太簇－夹钟－姑洗－仲吕－蕤宾－林钟－夷则－南吕－无射－应钟。”

这里黄钟对应“宫”音。

选择哪个频率的音为黄钟音其实是人任意选择的。我们可以想象古代各个部落因相互分离，互不隶属，他们在祭祀时所取的音调是各不相同的，或彼此相似但不尽相同。

当这些部落因征服或融合形成更大规模的治理体系时，就需要统一祭祀时所用的乐，这就意味着音律的统一。

不同长度的弦貌似构成了校准音律体系的标准，但实际上操作起来误差很大，因为频率不仅和长度有关，还和张力有关，而弦的张力受湿度、温度等环境因素影响很大，因此弦乐不是个很好的定黄钟音的标准。

声波和律管

声波

声波是振动在介质中的传播。

假设在空气中，我们让某处的空气“振动”起来。

但这是什么意思？凡振动都是“往复”，状态的摇摆，量的“大小大小……”

这与我们如何描述空气有关，假设我们手持一罐空气，或在想象中对所在空间划定边界，并考虑边界内的空气。

一般而言空气是均匀的，这个地方和那个地方并无不同。

这意味着：我们只需很少几个量就能描述我们关心的这一罐空气。

比如：压强$P$、体积$V$、温度$T$等。

这些都是宏观陈述（Macroscopic description），因为它们都是我们肉身可“直接”感知的，

又可分为两类：

强度量（Intensive properties）：$P$、$T$，它们并不因我们在想象中扩大所划定容器的边界而有改变。

广延量（Extensive properties）：$V$，如果我们扩大考察边界，或想象中复制相同的一份，并把两份合并，则$V$也加倍。

……

对声波（Sound Wave）而言，是压强$P$这个物理量在“振动”，我们假设振动不大，即压强的“振动”$\Delta P$远远小于空气本来的压强$P_0$

$$\Delta P << P_0$$

（1标准大气压=$1.01 \times 10^5 Pa$，听觉受损极限是$20Pa$。在物理研究中，我们总是试图先推出最简单情形的解，$\Delta P << P_0$这个条件会简化我们的推导。）

空气是没有任何粘性的，假设存在振动源（比如：振动的鼓膜或琴弦），振动源会做“压缩/抽离”的“活塞”运动，附近空气会周期性地被“压缩/抽离”，造成振源附近空气压强的振荡，比$P_0$大些或小些（就是空气更密些或更稀薄些）。

这样的“活塞”运动会推动振源前方的空气依次“压缩/抽离”式地运动，并传播开来。能量将以这种方式向前传播出去，这是一种振动方向和能量传播方向一致的波动，称为纵波（Longitudinal wave）。

空气依次的活塞运动，除导致空气的压强在时空中有个分布$P(x,t)$外，还导致局部的空气有向前（压缩）向后（抽离）的往复运动，这可以用速度在时空中的分布$v(x,t)$表示。

我们可推出压强分布$P(x,t)$或速度分布$v(x,t)$满足的波动方程，但这个方程的推导比弦的波动方程要复杂得多，这里暂且略去[6]。

声音现象是最常见的波动现象，但求解声波满足的波动方程并不简单，首先这是一个三维问题，而且声波波长与障碍物的尺寸多是同一数量级的（比如都是1米），这意味着方程求解时边界条件的考虑将很复杂。

$P(x,t)$就是波函数（Wave function），即表示“波动”的时空分布函数。求声波的波函数往往比求量子力学的波函数要复杂。

律管

作为例子，我们可考虑两端开口（或一端开口一端闭口）的细管中声波波函数的解。

开口、或闭口都是边界。

开口处意味着，空气做“压缩/抽离”动作时几乎是无阻碍的，这意味着无法有效地压缩或抽气，不论我们怎么动作，气压几乎没改变，都是$P_0$，相反如果是闭管，则可做最有效的压缩或抽气动作，因此压强对$P_0$的偏离也是最大的。

这意味着，

对开口：$\Delta P(open) = 0$

对闭口：$\Delta P(close) = A$，A是压强偏离的最大值，即振幅。

对两端开口的细管，我们必须要求$\Delta P(0) = \Delta P(L) = 0$

这意味着$L$可以是$\frac{n}{2}$倍波长，可求出声波的频率是：

$$\begin{equation} f_n = \frac{n v_s}{2L}, n=1,2,3,... \end{equation}$$

长度$L$的细管会发出特定频率的声音，主要是$f_1$，称为基音，$f_2=2f_1, f_3=3f_1$等称为泛音。

如果改变长度的话，我们就会得到不同音高（频率）的声音。

能够发出$f_1$声音的管子里有$f_2 = 2 f_1$的成分，所以它们听起来是有点相像的，音乐理论中这叫升八度。类似地我们称$f_1/2$叫降八度。

人耳是非常敏锐的分辨频率的器官，我们可以在一个八度内分辨出不同的音，比如我们可以在一个八度内再插入几个不同音高的音，并使它们之间的音高成比例，这样就得到了一个音列，其频率分别是：

$$f_1, g_1, h_1, i_1, j_1, k_1, l_1, m_1, n_1, o_1, p_1, q_1$$

共12个音，然后再高就是$f_2 = 2 f_1$，再高则是$g_2 = 2 g_1$等等，这样就得到了一个循环的成比例的音高的序列（像是个螺旋楼梯，每12音转一圈同时升八度）。

这就是音乐理论中的十二平均律（Equal temperament）。

http://en.wikipedia.org/wiki/Equal_temperament

中国古代称一个八度内成比例的十二个音为：“黄钟－大吕－太簇－夹钟－姑洗－仲吕－蕤宾－林钟－夷则－南吕－无射－应钟。”

不同长度的管子组合起来就是管乐，风中芦苇自然地会发出不同的乐音，管乐可看做是人对自然的模仿，希腊神话中，传说是自然神“大潘（Great Pan）”把吹奏排箫（长短不一、一端封闭的细管）的技艺传授给了牧羊人。

中国古代把与声音频率相关的感知称为音律，简称律。这里的律，本意就是管（tube）的意思，传说黄帝让伶伦造律，伶伦从山谷里取了一些竹子，找粗细均匀、孔径大小一致的竹子，在两竹节之间，取出一段（长三寸九分），定为黄钟音。然后又找了一些其他的竹管，总共十二根，就是十二律了。

黄钟音是基准音，有了这个音，其他音就自然定下来了，今天我们欣赏音乐（即一系列不同音高、响度、音长和音色的声音序列）是为了娱乐，而在古代则和祭祀、战争等大事件有关，中国古代和西方古代，对音乐都有规制，提倡雅乐、禁止淫乐。

随着时间的推移，旧的政治秩序瓦解，曾经的雅乐被忘却，作为基准音的黄钟音也就随着青铜乐器的重铸而不复存在，所谓“黄钟毁弃，瓦釜雷鸣。”

礼崩乐坏发生在东周时期，几百年后的王莽却基于自己强烈的信念致力于恢复周礼，他找了刘歆等有学问、有信仰的儒生来研究音律问题，并以此为基础“同律度量衡”，即通过确定标准的黄钟音来规范度量衡。

刘歆等的研究成果被记录在《汉书·律历志》中，

“度者，分、寸、尺、丈、引也，所以度长短也。本起黄钟之长。”

即用黄钟律管的长度来规范长度的标准。

“以子谷秬黍中者，一黍之广，度之九十分，黄钟之长。”

黄钟长90分，即90粒饱满黑小米排列的长度，

“十分为寸，十寸为尺。”

根据出土新莽铜量器推算，一尺相当于今天的$23.1cm$，因此黄钟律管的长度是：

$$L = \frac{23.1 \times 9}{10} cm = 20.79 cm = 0.2079 m$$

代入频率公式，可求出黄钟音频率：

$$f = \frac{v_s}{2L}$$

这里取声速为$v_s = 343 m \cdot s^{-1}$，计算出：$f = 825 Hz$，这个音相当于钢琴上的#g2（830.6Hz）（Link: 钢琴的音名与频率）。

以今天的标准看，这个音是偏高的，但如果我们假设黄钟律管是一端封闭的话，我们可得到一个降八度的音$f_{1/2}= 413 Hz$，相当于钢琴上的#g1，与 a1（国际标准音高，$440Hz$）接近。

曾侯乙编钟的发现和出土，提供了古代黄钟音的线索，根据推算，频率大约是$410.1Hz$[7]，相当于我们这里计算出新莽黄钟音[8]的降八度。

同律度量衡

根据《汉书·律历志》的记载，我们可把这一系列对音律、长度、容量和重量的规范小结如下：

1.

首先由一系列饱满、优美、不大不小的黑小米出发，并不断回到它们，这就是“同律度量衡”这一理论工作对应的生活形式——古代农业社会。

2.

我们对理想的黑小米可以计数，或饱满、优美的黑小米本身就是计数的工具。这里是不存在半粒黑小米的，如果有的话，是应该被抛弃的。

3.

一粒黑小米的宽度是一分（或一黍），十分为寸，十寸为尺。如果汉尺一尺是$23.1cm$的话，一分就是$0.231cm$，或相当于今天的大约$2mm$。

4.

90分是黄钟律管的长度，发出的声音就是黄钟音，增减律管的长度，我们会得到所有十二律，不同调式等，以此为标准校准乐器、规范音乐。

《国语·周语下》中有：

“律所以立均出度也，古之神瞽考中声而量之以制，度律均锺，百官轨仪。纪之以三，平之以六，成於十二，天之道也。”

音乐可影响人的心性、是国家的根本大法在古代是普遍观点，比如柏拉图曾在《法篇》[797a-b]中说斯巴达人禁止在里拉琴中加入新的弦。在《理想国》[424c]中说“若非国家根本大法有所变动，音乐风貌是无论如何也不会改变的。”

5.

容积是通过“黄钟之龠”来定义的，龠是古代类似笛子的乐器，在一个黄钟长的龠中倒满黑小米，共1200粒，这个容积就是1龠。

两龠是一合，十合一升，十升为斗。十斗为斛。

新莽铜嘉量[9]是公元九年王莽立号为新朝时制造的标准量器，系王莽国师刘歆设计。新莽1升约合今天的$200ml$，仅比1听可乐（$250ml$）小一点。

以此倒推，1合是$20ml$，1龠是$10ml$，即$10 cm^3$。

现在假设每粒黑小米都是球形的，并以最紧密的方式堆积，估算1200粒黑小米要占多大容积。

首先定义堆积因子（APF, Atomic Packing Factor）[10]

$$\begin{equation} APF = \frac{N V_0}{V} \end{equation}$$

这里: $N = 1200$，最紧密地堆积，取$APF = 0.74$。

假设1200粒黑小米放在“新莽铜嘉量”的龠中，而不是放在细长的“黄钟之龠”中。这样，和容器壁接触的黑小米的数量比之于黑小米的总数就可忽略不计，堆积因子概念就可近似适用了。

1200粒黑小米的体积$V$：

$$V = \frac{N V_0}{APF} = \frac{N}{APF} \cdot \frac{4 \pi r^3}{3}$$

$r$是黑小米的半径，

$$r = \frac{0.231}{2} cm = 0.1155 cm$$

代入可计算得：$V \approx 10.46 ml$，与1龠的容积相差不大。

6.

青铜律管的管径一直是个争议纷纭的问题，其原因与管口修正有关，公式:

$$\begin{equation} f_n = \frac{n v_s}{2L} \end{equation}$$

仅在近似意义下成立，紧靠管口的地方，压强还是可以有变化的，这本身可以通过实验来验证，比如把一个声压传感器放在紧邻管口的地方。

在稍微远离管口的地方，压强不会有变化，这意味着我们需要定义一个有效管长$L_{eff}$：

$$\begin{equation} L_{eff} = L + c_1 + c_2 \end{equation}$$

这里：$c_1 = 0.3d$，是对开口端的修正；$c_2 = 1.4 d$，是对吹端的修正[11]，$d$是管径。

管口修正是个很复杂的问题，开口端修正$0.3d$，是亥姆霍兹和瑞利（Helmholtz & Rayleigh）计算出来的[12]；而吹端的修正则和如何吹律管有关，两端开口的“龠”是斜吹的。

历代律管管径。数据来自：程贞一，《黄钟大吕》，pp35；及：夏季等，先秦黄钟律管考，《自然科学史研究》第25卷，第3期（2006）：239-245

律管	管径
楚律管新钟	0.6cm
楚律管姑洗	0.7cm
西安玉琯	七分半
王莽铜律管	三分三厘八毫六丝
宋大安乐律管	三分四厘六毫

考虑到管口修正后，音高（频率）会降低。

$$\begin{equation} f_n = \frac{n v_s}{2(L + 0.3 d + 1.4 d)} \end{equation}$$

7.

一龠容1200粒黑小米，这个重量被定义为12铢（即1铢对应100粒黑小米的重量），24铢是1两，16两是1斤，30斤是1钧，4钧是1石[13]。

这就是“铢、两、斤、钧、石”，所谓五权。

五声、五度、五量、五权。

数字五的背后是五行学说，

对数字五的崇拜

五行	土	金	木	火	水
五声	宫	商	角	徵	羽
五脏	胃	肺	肝	心	肾
五气	湿	燥	风	署	寒
五味	甘	辛	酸	苦	咸
五色	黄	白	青	赤	黑
五时	季夏	秋	春	夏	冬
五方	中	西	东	南	北

国父孙中山提倡五权宪法（行政权、立法权、司法权、监察权、考试权），民初有五色旗（用红、黄、蓝、白、黑分别表示汉、满、蒙、回、藏），……也是在凑这个数字。

练习

人耳一般只能听到$20 - 20000 Hz$的声音，求在空气中声波波长范围？$20 - 20000 Hz$对应几个八度？

解：

声波波速公式：

$$\begin{equation} v_s = \frac{\lambda}{T} = f \lambda \end{equation}$$

取声速：$v_s = 340 m s^{-1}$

则：$\lambda = \frac{v_s}{f}$

人耳能够听到的声音

频率	波长
$20Hz$	$17m$
$200Hz$	$1.7m$
$2000Hz$	$0.17m$
$20000Hz$	$0.017m$

人耳能听到声音的波长范围为：$1.7cm$ - $17m$。

从$20Hz$开始算，$2 \times 20 Hz$是第1个八度。第$n$个八度：$2^n \times 20 Hz$，这个数应该小于$20000Hz$，

$$2^n \times 20 < 20000$$

即：$2^n < 1000$，考虑到：

$$2^{10} = 1024$$

即人耳听力范围几乎横跨了10个八度（Octave）。钢琴的范围是从27.5 Hz到4186 Hz之间,略小于7个八度音阶。

参考文献

• 《汉书·律历志》，http://www.guoxue.com/shibu/24shi/hansu/hsu_024.htm

• 《史记·律书第三》，http://www.guoxue.com/shibu/24shi/shiji/sj_025.htm

• 杨荫浏，《中国古代音乐史稿》

• 程贞一，《黄钟大吕——中国古代和十六世纪声学成就》，2008

• 杜功焕，《声学基础》

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