电子的发现

电子 量子力学

---

电现象是很古老的一种现象。毛皮摩擦橡胶棒带的是负电，玻璃摩擦丝绸带的是正电。我们可以通过接触的方法把电“接”到纸屑上做实验，发现同性相斥，异性相吸，我们还可以把电接到“量电器”上，量电器有两个脚，两个脚因解除都带同性的电，电越多，两个脚的夹角就越大。

关于电的最早的模型是“双流体模型”，所谓流体就是水流，水流可以流来流去，电也可以流来流去，正电和负电分别对应两种流体。但从哲学上假设两种实体是让人不舒服的，比如奥古斯丁就否定有恶的实体，他把恶解释为善的缺乏，或说只有善一种实体。受这种思想的影响，有人就提出单流体模型，把负电解释为正电的缺乏……

当然我们现在知道，有两种电荷，一种是正电，一种是负电……但这种把“负”解释为“正”的缺乏的idea后来在物理里还真用上了，比如狄拉克的“空穴”（hole）概念，所有“负能量”的电子的态都是填充满的，假如我们湮灭掉一个具有“负能量”的电子，就相当于产生了“正能量”的“空穴”，在充满“负能量”电子的背景上，并且电荷是亏空$-e$的，或换句话说我们可以把“空穴”看做是个带相反电荷$e$的正电子，电子的反粒子。

现在我们回到对电现象的讨论，牛顿的万有引力定律后，受此启发，大家猜想对电现象应该也有这么一个平方反比的定律，即力的大小正比于距离的平方分之一（$F \propto r^{-2}$），两电荷离得越近力越强，越远力越弱。平方反比规律是很直观的，假如我们的空间是三维的，假如我们的质点、电荷会向空间的各个方向放出力线，或散发出某种神秘的“诱惑”，这个力线或诱惑是不应该无缘无故地消失的，它们同时向空间的所有方向跑，假如距离质点或电荷$r$地方我们做一个球面截住这些力线，在这个距离上我们能感受到相互作用的强弱应该正比于力线的密度，即单位面积里力线的“根数”，力线的根数和电荷或质量有关（或更直观地说一个电子或一个质量子放出一根“力线”），而单位面积就是要除以这个同心球面的面积（$4 \pi r^2$），力线的密度就是场的强度，假如我们在这个地方再放上另外一个电荷，力的大小就是：

场的强度乘以电荷，

完整写出来：$F \propto \frac{q_1 q_2}{r^2}$。这个力就是库伦力，因为库伦最早做了这个实验，并把比例系数定下来……写成国际单位制就是：

$$\begin{equation} F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 } \frac{q_1 q_2}{r^2} \end{equation}$$

这里$\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} F/m$，是真空介电常数（Vacuum permittivity）。

在原子论的观念下，人们自然会猜测对电现象而言有电的原子。即存在着很小很小的带电的基本单元，甚至我们会把这个基本单元想象为一个小圆球，很多小圆球在一起，看起来就像是一种流体，或用现代的概念讲就是一种“颗粒流”。

在牛顿力学之后，人们有一种对世界的想象，或一种关于世界的整体图景，在这个图景下，世界就是一个质点系统，很多很多质点，质点间有相互作用，在某一刹那（$t = t_0$ ），每个质点的位置和速度（或动量）都是确定的，这时我们就面对一个巨大的联立方程，对每一个质点都是个牛顿第二定律，比如对第$i$个质点：

$$\begin{equation} F_i = \sum\limits_{ j \neq i } F_{ij} = m a_i \end{equation}$$

$F_{ij}$表示第$j$个质点给第$i$个质点的力。但这里力是什么？即质点和质点的相互作用是什么？如果从前的话就是万有引力定律，但现在又多了库伦力，库伦力不同于万有引力的是，第一它可能是吸引的也可能是排斥的，而引力就只能是吸引的，单纯靠引力，世界是不稳定的。第二电磁相互作用，或这里就是库仑力，比引力要强的多，光靠引力我们甚至解释不了最简单的物质——比如氢原子——的结构，但有电磁相互作用就可以。

我们知道有四种相互作用，或三种，引力最弱，强相互作用最强，但它仅存在于原子核里面，剩下的就是“电磁相互作用+弱相互作用”（统称“电弱”，用一套理论描述），我们所处的这个层次的世界，比如为什么会有生命等等，主要是用电磁相互作用解释的。

传统上讲，化学是研究物质结构的。在电化学实验中，我们可以电解水，电解盐酸……

$$\begin{eqnarray*} 2 H_2 O & \to & 2 H_2 \uparrow + O_2 \uparrow \\ 2 H Cl & \to & H_2 \uparrow + Cl_2 \uparrow \end{eqnarray*}$$

在这些实验中我们会发现产生单位质量的氢气（比如2克）总和确定量的氧气（8克）和确定量的电量转移（1F）相匹配。这提示我们电很可能存在一个最小单元，这个最小单元参与化学反应，它使比如两个氢离子变成一个氢气分子（$2 H^+ + 2 e \to H_2 \uparrow$）。并且这个基本单元普遍存在于很多物质中。

在发现电子的过程中，塞曼效应（Zeeman effect）是很关键的。所谓塞曼效应就是研究磁场对光的影响，这是法拉第（Faraday，1791 — 1867）临终时研究的课题，但由于他当时用的磁铁不够强大，他没看到磁场对光的任何影响。

法拉第一生做了很多实验，记了好多实验笔记，他的工作奠定了电磁场理论的实验基础。麦克斯韦是电磁理论的数学形式的完成者，所谓场就是物理量（这里就是电场强度$E$/磁场强度$B$）在空间中的分布和时间上的变化，电场和磁场必须看做是个整体，而电场/磁场本身又是矢量，在三维空间上有分量，可以想象电磁场的理论是很复杂的。

麦克斯韦的理论证明光其实就是一种电磁波，一种肉眼可以看见的电磁波，光波波长正好对应太阳——我们的母星——发出的主要电磁辐射。这不是巧合，我们的母星以黄光照亮我们的世界，我们人类的视觉器官也主要适应这个波长，并在这个波长附近进化出辨认不同波长的能力——通过颜色——赤橙黄绿青蓝紫。颜色使我们一眼就能从环境获得更丰富的信息，进而通过生活造就我们内在的心理和智力世界，眼睛充分利用了太阳给我们的馈赠，发达的视觉是人类演化出智慧的基础。

牛顿用三棱镜可以把不同波长的光分开，这就是最原始的光谱（spectrum），所谓谱就是分布，光谱就是光强随不同波长的分布（$I_{\lambda}$），但牛顿的方法分辨本领不高。

更好的——把不同波长的光分开的方法——是利用光的干涉现象，假如有两束光它们都是从A出发走不同路径，最后都落在屏上的B，如果它们走过的路正好相差波长$\lambda$的整数倍的话，它们就会波峰和波峰叠加，对应光的加强，即一个明亮的条纹，换句话说条纹的位置会和波长的长度有关，不同波长的光会在屏的不同位置出现加强（他强你不强，你不强他强）。现在的问题是要让条纹们变窄一点，否则都叠在一起不好测量。

我们可以使用光栅来使条纹变窄，所谓光栅就是把光分成细而密集的很多束，比如最早的光栅就是用金属丝缠绕而成的，而晶体因为本身就有周期性结构，可以看做是天然的光栅。

假设有很多束光，它们两两之间正好相差$\delta$相位$e^{i \delta}$，所有这些波的叠加是：

$$\begin{equation} 1 + e^{i \delta} + e^{i 2 \delta } + ... + e^{i N \delta} \end{equation}$$

这是一个等比数列，我们可以求出和是：

$$\begin{equation} \frac{1 - e^{i N \delta}}{ 1 - e^{i \delta}} = \frac{ 1- \cos N \delta - i \sin N \delta }{ 1- \cos \delta - i \sin \delta} \end{equation}$$

光强正比于波幅的绝对值的平方：

$$\begin{equation} I(\delta) \propto \frac{( 1 - \cos N \delta)^2 + \sin^2 N \delta }{ (1 - \cos \delta)^2 + \sin^2 \delta } = ... = \frac{\sin^2 N\delta /2}{\sin^2 \delta /2} \end{equation}$$

可见增加$N$会有效地提高光栅的分辨本领，随着光栅技术的进步，我们能够把不同波长的光在光谱上分的越来越开。

与此同时洛伦兹基于麦克斯韦的电磁场理论提出了他的关于金属的理论，他假设金属里面有很多带电的基本粒子，它们和分子运动论中讨论的原子一样在做无规则的热运动，在这样一幅图像下洛伦兹解释了电的输运现象，比如为什么会有欧姆定律（Ohm's law）。

塞曼是洛伦兹的助手，他受法拉第想法的启发，想再试一试磁场对光的影响，当时实验技术已经有很大进步了，更大的磁铁，更精细的对光波波长的分辨等等。塞曼对磁场中的钠光谱进行了分析，发现磁场能够使钠的黄线变粗（就是分裂了），他测量了波长的变化，并把结果告知洛伦兹。

洛伦兹很快基于他的电子论给出了对塞曼效应的解释。假设金属里面有带电的基本单元，这个基本单元的运动对物性负责，现在磁场加上去了，就有洛伦兹力$q v B$，洛伦兹力是有方向的，假设带电粒子既可以围绕磁场顺时针转动，也可以逆时针转动，这个力对顺时针转动和逆时针转动的影响就是相反的，它使得一个转动变快，而使另一个转动变慢。转动快慢对应频率，而频率对应波长。

$$\begin{equation} \lambda = c T = \frac{c }{\nu} = \frac{2 \pi c}{ \omega } \end{equation}$$

洛伦兹基于以上思路做了一个简单的计算，正好可以解释塞曼的实验结果。并且给出了一个重要的结果，假如金属中的这个带电单元既有质量（$m$）又有电荷（$q$）的话，它们的比值将是$q/m \propto 10^{11}$库伦/千克。

几个月后，JJ汤姆逊就对阴极射线完成了他的著名实验，在这个实验中他对阴极射线的轨迹进行了直接的测量，阴极射线在磁场的作用（洛伦兹力）下会偏转，这用粒子图像很容易解释。汤姆逊测出了阴极射线的电荷质量比，也是大约$10^{11}$库伦千克。

关于存在电的基本单元，我们现在就有了好几个独立的证据，电解实验表明在水、盐酸……中存在着带电的基本单元，塞曼效应说明在金属中存在带电的基本单元，汤姆逊实验说明在阴极射线里有带电的基本单元，而且我们还观察到了带电基本单元在磁场和电场下的偏转，这可以说是更直接的证据。

现在汤姆逊就假设在物质中普遍存在带电的基本单元，并称之为电子，它是负的，电荷质量比是$10^{11}$库伦/千克量级。汤姆逊还猜测，如果存在带正电的基本单元的话，其电量应该和带负电的基本单元——电子——相同，只是正负号相反。这个猜测是合理的，因为在电解水实验里就是电子在离子之间跑来跑去，这意味着一个氢离子（质子）加一个电子正好就是电中性的。

$$\begin{eqnarray*} 2 O^{--} & \to & O_2 \uparrow + 4 e \\ 4 H^+ + 4 e & \to & 2 H_2 \uparrow \end{eqnarray*}$$

我们也可以用磁场偏转质子来测量质子的电荷质量比$e/m_p$，发现这个数比电子的电荷质量比小很多，说明电子比质子轻很多。这个结果让我们很不舒服，因为自然界中带负电的基本单位竟然比带正电的基本单位轻很多……假如质量一样，只是电荷相反我们就会觉得舒服，有“左右对称”式的“均衡”感。现在我们知道有电子有反电子，有质子也有反质子，这就舒服多了，于是问题就变成为什么我们的这个世界电子会比反电子多很多……，这个问题是被苏联物理学家萨哈罗夫解决的。

密立根通过油滴实验测出电子电荷的具体数值$e = 1.602 \times 10^{-19} C$，这意味着现在电子的质量也知道了$m_e = 9.109 \times 10^{-31} kg$。

那么电子有多大呢？我们现在有两个简单的选择，一种是把电子想象为一个球体，它的半径是$r_e$，电荷和质量都均匀地分布在这个球体上。另一种选择是把电子干脆看成是一个点，好比曾经的质点模型，我们用位置和速度描述电子的运动状态（或在量子力学中，以位置和时间为变量的波函数$\psi(x,t)$），就电子本身而言，它的质量是$m_e$，电荷是$e$（虽然说电子带负电，但我们还是习惯把它写为$e$，这里的逻辑很简单，就是省事）。

回到塞曼效应，进一步的实验表明，塞曼效应比我们想象的复杂，我们可以把不同的金属放进磁场里，测不同的谱线分裂。我们发现谱线可能会分裂成偶数条，这是洛伦兹粗糙的电子论无法解释的。我们把理论上好解释的叫“正常塞曼效应”，把暂时还没法解释的起名叫“反常塞曼效应”。但实际上大部分观察到的是“反常塞曼效应”，或者说你们“正常”的其实才是“反常”的。

塞曼效应（磁场中光谱线的分裂）是原子物理中的一个重要实验，因为它很早就发现了，一直没获得完满的解释，或者说它一直在驱动理论演进。此外塞曼效应还启发人们去研究电场中光谱线的分裂，这就是斯塔克效应（Stark effect），斯塔克效应对催生量子力学也有重要作用。

根据物质的摩尔质量，密度等参数我们可以估计不同元素原子的大小，其结果非常整齐，都是$10^{-10}$米，即不管它们的密度多么悬殊，但对于构成它们基本单元的原子，不同种类原子的大小是差不多的。

不同原子的半径

元素	质量数$A$	质量密度$\rho$($g / cm^3$)	原子半径($nm$)
Li	7	0.7	0.16
Al	27	2.7	0.16
S	32	2.07	0.18
Cu	63	8.9	0.14
Pb	207	11.34	0.19

我们还可以估计电子的大小$r_e$，根据狭义相对论，质量就是能量，能量就是质量，电子的质量$m_e$对应能量$m_e c^2$，而电子本身还带电荷$e$，电荷周围是电场的分布，假设电荷是个半径为$r_e$的均匀带电球体的话，我们能把电场在整个空间的分布$E(r)$都计算出来，根据电磁学，电场是有能量的，单位体积的能量（或能量密度）是$\frac{\epsilon_0}{2} E(x)^2$，我们把所有电场的能量都加起来，它将是一个和参数$r_e$有关的表达式，这样表达出的能量要和电子的总能量$m_e c^2$相等。相当于我们从两个角度计量了电子的总能量，然后我们就能计算出$r_e$。

这样计算出来的$r_e$很小，大约是$10^{-15}$米，它比原子的尺度$10^{-10}$米小很多，就相当于我们在足球场里爬进了一只小蚂蚁。

这个计算很微妙，首先它似乎否定了电子——是个几何点——这样的物理图像（因为这样的话总能量会趋于无穷大），其次它是通过考虑相对论来否定的。这意味着我们必须考虑相对论才能得到一个关于电子的完整理论。这也是当时物理学家的普遍想法，因为狭义相对论1905年就提出了，把所有物理理论推广使其符合相对论是当时很多理论家喜欢做的事情。

我们还知道电子不是经典的对象，我们必须发展量子力学的理论才能描述它的运动，假如电子的运动速度很慢，也许存在一个非相对论性的量子力学，但如果电子的运动速度接近光速，就必须使用相对论性的量子力学。

当时很多物理学家都希望能直接得到一个关于电子的相对论性理论，但最后都失败了。首先成功的还是一个关于电子的非相对论性理论，即海森堡-玻恩-约丹的矩阵力学和薛定谔的波动力学。

在非相对论性量子力学中，电子是被当做点处理的，因为把电子处理为球体，并认为电子会像地球一样自转起来恰恰无法解释反常塞曼效应。我们必须接受这样一个尴尬的局面——我们把电子理解为点，但同时这个点还必须能有角动量（自旋角动量$s$）和磁矩。这是非常别扭的，我们在经典物理中根本就找不到这样的例子[1]。

如果我们回顾海森堡等创建量子力学的过程的话，他们非常依赖于把原子现象（量子力学）与日常经验（经典力学）进行类比，他们建立了一整套对应的法则，根据这些法则，我们由经典力学的概念、公式出发就会得到相应量子力学的概念、公式。比如经典力学中的位置$r$对应量子力学中的位置算符$\hat r$；经典力学中的角动量$L$对应量子力学中的角动量算符$\hat L$；经典力学中的泊松括号对应量子力学中的对易关系等等。

这里我们碰到的就是这个困难——自旋角动量$S$没有经典对应，它是个纯粹的量子现象，我们没法用一个陀螺的旋转（或任何其他经典现象）与之对应。

这个困难必须到狄拉克的相对论性量子力学才能得到解释，在那里电子仍然被当做一个点来处理，但这个点所满足的运动方程是个矩阵方程，它可以求出四个解，两个解是正能量，两个解是负能量。负能量解对应的是反电子（为了好理解，狄拉克把它解释为电子背景上的空位，即空穴，但到量子场论里我们是不需要借助这个图像的），而两个解分别对应自旋向上和自旋向下。电子和反电子在形式上现在就对称了，它们质量相同，什么都一样，就是电荷不同。

现在我们再来说电子的话，电子就是这样一个对象，它的自旋角动量是1/2，质量是$m_e$，电荷是$e$，电子本身的运动状态要用波函数来表示，但有两个分量，一个对应自旋向上，另一个对应自旋向下。我们可以把它写为列向量的形式：

$$\begin{equation} \left( \begin{array}{lcr} \psi_{s \uparrow} \\ \psi_{s \downarrow} \end{array} \right) \end{equation}$$