数和量

数学 算术 复数

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A在用各种石料盖房子，这些石料是：方石、柱石、板石和条石。B必须依照A需要石料的顺序把这些石料递给他。为了这个目的他们使用一种由“方石”、“柱石”、“板石”和“条石”这几个词组成的语言。A喊出这些词，B把石料递过来——他已经学过按照这种喊声传递石料。——请把这看作一种完整的原始语言。——维特根斯坦，《哲学研究》

什么是数？

数是抽象的观念，它并不在自然中对我们现身。当我们说水的时候，我们知道水是什么，当我们说红的时候也知道红对我们意味着什么，但数是什么呢？当我们说一的时候，是什么意思呢？

“一”是个动作，是我用手指向某物，但我为何要做这动作呢？我是做给他者(另外一个我)看的，瞧，此物。这就意味着一种整全性，我无法用手指同时指向0-1之间所有的实数，我指向的是一个整全的对象，我并没有指向部分，除非你要求我澄清。

弗雷格问1+1=2意味什么？它不可能是两个月亮相加。我的评注是，1是count这个动作。必须用不同的东西count，或者空间分离，或者在时间的序列上间隔。count就是数数，数数是用不同的东西数，把石头一个个摆开就是在数数，虽然没有命名，但已经在数了。

1+1是count, count 这个动作，我们对count, count的命名是2，这就是1+1=2. 而count, count, count 我们命名为3。这背后的基础是生活，我们过某种合作的生活导致我们发明了count, count, ... 这种计数技术。它可能用于交换，拿走一个果子，我们就摆一块石头，再拿走一个，再摆一块，....

小孩学数学的第一步是背诵，1, 2, 3, 4,…这就是对count, count,...的命名。n+1= n+1 表示count n次后，再count一次。n+1对n而言是唯一确定的，而且n+1不同于之前任何一个count, 这里我们需要不同的命名，如此定义的对象将像珠链一样无尽伸展出去。

count是无尽重复的动作，可用于表示人对时间感受，转动经筒，一圈，一圈，是对时间的count, 圣僧做这个动作，则有驱动时间的意思。

数概念的扩展

我们由自然数出发：1，2，3，...

1是1，2是2，3是3，...

记为：1=1，2=2，3=3，...

现在引入一种运算：加法，

使：1+1=2，2+1=3，...

现在引入一种逆运算：减法，

使：...，3-1=2，2-1=1，...

这里出现一个问题：1-1=？

记：1-1=0，将自然数域扩展为整数域，...

我们发现，如果不定义运算符，+，我们无法获得无限大的自然数概念，如果不定义运算符，-，我们无法获得零和负数的概念。

1，2，3，...可看作是有确定所指的名词，好像“苏格拉底”，“白马”，...

单纯考虑名词的集合，如：“1,2,3”，我们无法达到超出1，2，3，...的知识，只能是：1是1，2是2，3是3，...式的同义反复。

运算：+，-是施加于名词（指称事物）的操作，动作。这种操作可以是人的主观规定，也可以是人对事物关系（事物因运动变化而具有关系）的表示。

数与数因运算联系起来，构成算数系统而具有某种结构。我们由+，-两种最简单的运算开始讨论。

+把所有自然数都联系起来，任何两个自然数做加法都是合法的，仍然是自然数（封闭性）。但任何两个自然数做减法则不一定合法，1-1=？

在对数字玩弄减法之前，我们很难想像零和负整数。但当面对1-1=？这样的问题时，我们就发现了“新”对象“零”，继续玩弄数字0-1=？于是我们就发现了负整数。...于是我们把自然数扩展为整数。这样就保证了减法运算的封闭性，我们说我们的知识因此而获得增长。

现在的问题是：关于整数的知识是否本质地蕴含于关于自然数的知识内？

如果不定义+，我们是无法由有限的自然数1，2，3认识到任意大自然数的。如果不定义-，我们是无法认识到0和负整数的。我们的认识超越自然数的能力并非来自其自身，而在于我们能够玩弄数字。

类似地，我们可以继续定义乘法：$2 \times 3=2+2+2=6$，…，乘法在整数域上满足封闭性。我们可定义乘法的逆运算除法，任意两个整数相除可以不是整数，除法在整数域上是不封闭的。我们将整数域扩展为有理数域，除法在有理数域上满足封闭性。

我们可继续定义乘方：$2^2=2 \times 2$，$3^2=3 \times 3$….，乘方在有理数域上是封闭的。但乘方的逆运算开方在有理数域上则是不封闭的，如$\sqrt{2}$无法表示为两整数之比，我们需进一步将有理数域扩展为实数域，才可使得对任意正有理数的开方有所指。

需要指出的是由“1, 2, 3”扩展到自然数是本质的飞跃，而由有理数扩展到实数是另一个本质的飞跃。由“1, 2, 3”到自然数是由有限到无限的飞跃，而由有理数到实数则是可数的无限到不可数的无限的飞跃。

总之我们通过对有限对象进行有限步骤的推理就获得了关于实数（不可数的无限）的知识。

因此关于操作或运算的研究就是非常重要的，玩弄数字使我们获得关于数学的新知识。用语言来类比数学，语言活动正是对名词和概念的玩弄。虽然话总是一句一句说的，但因谓词的存在，语言就有了玩弄名词和概念的能力，有限句话就能有表达属于无限对象的能力。表达能力意味着把握知识的能力，这意味着当我们陷入某种语言困境时，正是我们获得新知识的好机会。

纯虚数

比如，我们尝试对-1做开方的运算，这使我们再次陷入困境，因为没有任何实数的平方是负数。但如果我们假想一个数$i$，一个纯虚数（pure imaginary number），纯粹假想出来的，不存在于自然界中的数。

满足：

$$\begin{equation} i^2 = -1 \end{equation}$$

这样数域就扩展到了复数域，一个任意的复数$z$可表示为：

$$\begin{equation} z = a + ib \end{equation}$$

这里$a$, $b$都是实数。

数域扩展到复数域后，我们就可对-1开根了：

$$\begin{equation} \sqrt{-1} = \pm i \end{equation}$$

$e$指数

对指数函数$a^x$求导数：

$$\begin{equation} \frac{d}{dx} a^x = \lim\limits_{\eta \to 0} \frac{a^{x + \eta} - a^x }{\eta} = a^x \lim\limits_{\eta \to 0} \frac{ a^\eta -1 }{ \eta } \end{equation}$$

这里$\frac{ a^\eta -1 }{ \eta }$是“$\frac{0}{0}$”型的，计算出来应该是一个与$a$有关的数。

如果有某个数$e$存在，使得：

$$\begin{equation} \lim\limits_{\eta \to 0} \frac{ e^\eta -1 }{ \eta } = 1 \end{equation}$$

则，

$$\begin{equation} \frac{d}{dx} e^x = e^x \end{equation}$$

我们还可以继续求高阶的微分，它们将都是$e^x$。

针对$0$，写出$e^x$的幂级数展开，

$$\begin{equation} e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1+x + \frac{x^2}{2} + ... \end{equation}$$

当$x=1$时，我们可得到$e$的表达式：

$$\begin{equation} e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3!} + ... \approx 2.71828 \end{equation}$$

可以证明，

$$\begin{equation} e^x = \lim\limits_{n \to \infty} ( 1 + \frac{x}{n} )^n \end{equation}$$

由此得到$e$的另一个表达，

$$\begin{equation} e = \lim\limits_{n \to \infty} ( 1 + \frac{1}{n} )^n \end{equation}$$

对函数$y = e^x$，引入逆函数，

$$\begin{equation} x = \log_e y = \ln y \end{equation}$$

复数

有了纯虚数和自然指数的定义后，我们能得到很多漂亮的结果。

比如对指数函数：

$$\begin{equation} e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \end{equation}$$

两个指数函数的相乘：

$$\begin{equation*} e^{i \alpha} e^{i \beta} = e^{i (\alpha + \beta)} \end{equation*}$$

等式左侧（LHS）：$(\cos \alpha + i \sin \alpha) \cdot (\cos \beta + i \sin \beta) =$

$$\begin{equation*} (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) + i ( \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \end{equation*}$$

等式右侧（RHS）：

$$\begin{equation} \cos (\alpha + \beta) + i \sin (\alpha + \beta) \end{equation}$$

因此：

$$\begin{eqnarray} \cos (\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\\ \sin (\alpha + \beta)&=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \end{eqnarray}$$

在物理学中，任何测量值都是一个实数，我们无法从“表盘”中读出个虚数来，但引入虚数，确实可给我们带来运算上的便利。

比如我们经常用e指数函数来表示一个波动：

$$\begin{equation} \psi (x,t) = A e^{i (kx - \omega t)} \end{equation}$$

$\psi (x,t)$是一个表示波动的函数，在此意义下我们称其为波函数，但$\psi (x,t)$并不直接对应物理量。$\psi (x,t)$取实部是实数，就可以直接对应物理量了，比如机械波的振动，电磁波中电场分量或磁场分量的取值等等。

练习

• 证明：$\sqrt{2} \neq \frac{m}{n}$，这里$m$, $n$是任意自然数。