二次量子化
量子场论
对全同多粒子系统而言，我们可以使用直接乘积表象，但这样得到的波函数很啰唆，而且必须额外保证这样得到的波函数是对称化（玻色子）或反对称化（费米子）形式的。由于我们无法说出哪一个宗量qi对应的量子态是哪一个n，所以我们只需说多粒子系统中有几个粒子处在m态，有几个粒子处在n态即可，这就是所谓占有数表象。
产生、湮灭算符
费米系统
对多费米子系而言，假设最简单的情况两个费米子，一个费米子处在m态，另一个费米子处在n态。由于费米子满足泡利不相容原理，所以m≠n。
\begin{equation}\label{two fermions wave function}
\begin{gathered}
\psi _{m,n}^F (q_1 ,q_2 ) = \frac{1} {{\sqrt 2 }}\left|
{\begin{array}{*{20}c}
{\psi _m (q_1 )} & {\psi _m (q_2 )} \\
{\psi _n (q_1 )} & {\psi _n (q_2 )} \\
\end{array} } \right| \hfill \\
= \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\psi _m (q_1
)\psi _n (q_2 ) - \psi _m (q_2 )\psi _n (q_1 )} \right) \hfill \\
\end{gathered}
\end{equation}
现在我们湮灭一个粒子，这里就有两种选择了，假设我们湮灭一个m态的粒子，这样的一种操作用湮灭算符am表示，它的后果是只剩下一个粒子处在n态（相当于在行列式中“降维”，由2×2降到1×1）。记作：
\begin{equation}\label{ferminon anni}
a_m \left| {m,n} \right\rangle \doteq \left| n \right\rangle
\end{equation}
我们还可定义产生算符，a†m表示产生一个m态的粒子，对费米子系而言，有：
a†m∣∣m,n⟩≐0,a†m∣∣n⟩≐∣∣m,n⟩.
现在对只有一个n粒子的态，继续湮灭一个m粒子，由于系统中已经没有m粒子了，这样的过程是不存在的，记作：
am∣∣n⟩≐0
假设系统中有一个m粒子，则湮灭算符am可以对这个量子态进行运算，计算结果是没有一个粒子，即所谓真空态(∣∣0⟩)，记作：
\begin{equation}\label{eq 3}
a_m \left| m \right\rangle \doteq \left| 0 \right\rangle
\end{equation}
按照这种约定，我们可以证明如下对易关系：
{am,a†n}{am,an}==δm,n0(24)(25)
对第一个对易式，对m≠n我们可分别证明对量子态：∣∣m,n⟩, ∣∣m⟩, ∣∣n⟩
和 ∣∣0⟩都成立。比如对∣∣m⟩证明：
ama†n∣∣m⟩=am∣∣n,m⟩=−am∣∣m,n⟩=−∣∣n⟩，
a†nam∣∣m⟩=a†n∣∣0⟩=∣∣n⟩，得证。
这里使用了费米子波函数的交换反对称性：
∣∣m,n⟩=−∣∣n,m⟩,(26)
再者：a†m∣∣0⟩=∣∣m⟩，a†n∣∣m⟩=∣∣n,m⟩；a†n∣∣0⟩=∣∣n⟩，a†m∣∣n⟩=∣∣m,n⟩；由此可证：a†ma†n=−a†na†m,
即：{a†m,a†n}=0。
对湮灭算符，am∣∣m,n⟩=∣∣n⟩，an∣∣m,n⟩=−an∣∣n,m⟩=−∣∣m⟩；anam∣∣m,n⟩=∣∣0⟩，aman∣∣m,n⟩=−∣∣0⟩；由此可证{am,an}=0。
注：这里的产生、湮灭算符想象为在行列式中“升维”或“降维”（相应会增加或减少一行），行指标为量子态的指标。玻色系的证明思路大体相同，只是玻色系“行列式”的每一项都取正号。
按此思路将大大简化占有数表象下对易关系的证明，并有利于理解概念。
玻色系统
对玻色系统而言，假设两个玻色子，一个玻色子处在m态，另一个玻色子处在n态。如果m≠n, 波函数应写为如下形式：
\begin{equation}\label{two bosons wavefunction}
\begin{gathered}
\psi _{m,n}^B (q_1 ,q_2 ) = \frac{1} {{\sqrt 2 }}\left|
{\begin{array}{*{20}c}
{\psi _m (q_1 )} & {\psi _m (q_2 )} \\
{\psi _n (q_1 )} & {\psi _n (q_2 )} \\
\end{array} } \right|_+ \hfill \\
= \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\psi _m (q_1 )\psi _n (q_2 ) + \psi _m
(q_2 )\psi _n (q_1 )} \right) \hfill \\
\end{gathered}
\end{equation}
如果m=n的话，ψBm,m(q1,q2)=2‾‾√ψm(q1)ψm(q2)，但这样的波函数没有归一化，归一化后：
ψBm,m(q1,q2)=ψm(q1)ψm(q2)
现在定义映射：
ψm(q)→a†m∣∣0⟩,ψn(q)→a†n∣∣0⟩
12√(ψm(q1)ψn(q2)+ψm(q2)ψn(q1))=∣∣m,n⟩=∣∣n,m⟩
→a†ma†n∣∣0⟩=a†na†m∣∣0⟩.
如果简单地把
12√(ψm(q1)ψm(q2)+ψm(q2)ψm(q1))=2‾‾√ψm(q1)ψm(q2)
→(a†m)2∣∣0⟩,
在形式上与m≠n时相同，但(a†m)2∣∣0⟩不是归一化的。归一化后的波函数即占有数表象下的∣∣2m⟩：
\begin{equation}
\label{two bosons}
\left| 2_m \right\rangle = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {a_m^\dagger} \right)^2 \left| 0 \right\rangle
\end{equation}
即:
(a†)2∣∣0⟩=a†∣∣1⟩=2‾‾√∣∣2⟩
推广到一般情形，考虑N个玻色子（写成“行列式”的形式）：
ψBk1,k2,...,kN(q1,q2,...,qN)=∣∣∣∣∣∣ψk1(q1)ψk2(q1)...ψkN(q1)ψk1(q2)ψk2(q2)...ψkN(q2)............ψk1(qN)ψk2(qN)...ψkN(qN)∣∣∣∣∣∣+
\begin{equation}\label{N bosons}
= \frac{1}{\sqrt {N!}} \sum\limits_P \psi_{k_1}(q_{P1}) \psi_{k_2}(q_{P2})...\psi_{k_N}(q_{PN})
\end{equation}
∑P是对位置的轮换，体现了玻色子的交换对称性，并不改变对态的占有数分布，所以各轮换项都对应同一个占有数表象下的态矢量 ∣∣n1,n2,...⟩。这里的指标k1,k2,...（量子态）可能有重复，假设有n1个甲态, n2个乙态等等，“行列式”形式的波函数( 9 )映射为(a†1)n1(a†2)n2...∣∣0⟩。它不是归一化的波函数, 归一化因子是1∏ini!√，即：
\begin{equation}\label{Normalized bosons occ rep}
\left| {n_1 ,n_2 ,...} \right\rangle = \frac{1}{{\sqrt {
\prod\limits_i {n_i !} } }} (a_1^{\dagger})^{n_1}
(a_2^{\dagger})^{n_2} ... \left| 0 \right\rangle .
\end{equation}
证明如下
ψBk1,k2,...,kN(q1,q2,...,qN)=1N!√∑Pψk1(qP1)ψk2(qP2)...ψkN(qPN)
→∏i=1Na†ki∣∣0⟩
如果所有的ki相互都不同，那么波函数已经归一化了，若存在ki=kj，波函数就不是归一化的。
考虑到玻色子允许相同量子态占据多个粒子，对所有的{ki}进行重新分组，假设k1态上占据了n1个玻色子，等等。轮换∏i=1Nψki(qPi)中会出现很多相同的项，∑Pψ...ψ中共有N!项，对占据k1态的n1个玻色子而言，n1!轮换对应相同的项。
所以：因多个玻色子可占据相同的态导致轮换∑P∏i=1Nψki(qPi)中有∏ini!项是可以合并的，即：
1N!‾‾‾√∑Pψ...ψ=∏ini!N!‾‾‾√∑{ni}ψ...ψ
合并后的求和就不是对轮换∑Pψ...ψ作的，而是对ni分布作的，共有N!∏ini!项。因此：
∏ini!N!‾‾‾‾‾‾‾⎷∑{ni}ψ...ψ=∣∣n1,n2,...⟩
是归一的。于是：
(a†1)n1(a†2)n2...∣∣0⟩=∏ini!‾‾‾‾‾‾√∏ini!N!‾‾‾‾‾‾‾√∑{ni}ψ...ψ=∏ini!‾‾‾‾‾‾√∣∣n1,n2,...⟩
公式(10)得证。
一个简单的例子：
假设有3个玻色子，2个粒子在1态，1个粒子在2态。
(a†1)2a†2∣∣0⟩=13!‾‾√∣∣...∣∣3×3=13!‾‾√∑Pψψψ
∑P中共有六项。“3个玻色子，2个粒子在1态，1个粒子在2态。”组合数是：3!2!1!=3, 即有2项是重复的。因此：
(a†1)2a†2∣∣0⟩=13!‾‾√∑Pψψψ=2!3!‾‾√∑{2,1}ψψψ
∑{2,1}ψψψ有3项, 分别是：
ψ1(q1)ψ1(q2)ψ2(q3),
ψ1(q1)ψ2(q2)ψ1(q3),
ψ2(q1)ψ1(q2)ψ1(q3).
13√∑{2,1}ψψψ是归一化的，记为占有数表象下的态矢量：∣∣2,1⟩
因此：
∣∣2,1⟩=12‾‾√!(a†1)2a†2∣∣0⟩
玻色子的对易关系：
假设真空态已经是归一化的，⟨0∣∣0⟩=1，a†∣∣0⟩=∣∣1⟩，a†∣∣1⟩=2‾‾√∣∣2⟩，a†∣∣2⟩=12√(a†)3∣∣0⟩=3‾‾√∣∣3⟩，...，推出：
\begin{equation}
\label{BosonRecursionCreat}
a^\dagger \left| n \right\rangle = \sqrt {n + 1} \left| {n + 1} \right\rangle
\end{equation}
现在定义湮灭算符a，使得a∣∣0⟩=0，假设量子态∣∣m,k⟩，即一个玻色子处在m态，另一个玻色子处在k态，并且m≠k。湮灭算符am，ak应满足：
am∣∣m,k⟩=∣∣k⟩,ak∣∣m,k⟩=∣∣m⟩
如果两个玻色子占据相同的态(m)：
am(a†m)2∣∣0⟩=ama†m∣∣1m⟩=2‾‾√am∣∣2m⟩=2a†m∣∣0⟩=2∣∣1m⟩
湮灭算符的效果是拿掉“行列式”的一行；现在“行列式”的两行有相同指标，拿掉一行的方式有两种。
这意味着：a∣∣2⟩=2‾‾√∣∣1⟩。这个结果可推广为：
a∣∣n⟩=n‾‾√∣∣n−1⟩
对n行有相同指标的行列式——相同的量子态上有n个粒子占据——拿掉一行的方式有n种, 即：
a(a†)n∣∣0⟩=n(a†)n−1∣∣0⟩,an!‾‾√∣∣n⟩=n(n−1)!‾‾‾‾‾‾‾√∣∣n−1⟩
推出:
\begin{equation}\label{boson recursion minus}
a \left| n \right\rangle = \sqrt n \left| {n-1} \right\rangle
\end{equation}
由a†和a，可定义数算符(number operator)：
\begin{equation}
\label{Boson number operator}
a^{\dagger} a \left| n \right\rangle = n \left| n \right\rangle
\end{equation}
和玻色对易关系：
\begin{equation}\label{Boson commutation}
[a, a^{\dagger}] =1 .
\end{equation}
力学量的二次量子化形式
定义单体算符：
\begin{equation}\label{one body operator}
A = \sum\limits_{m,n} {\left| m \right\rangle \left\langle m \right|A\left| n \right\rangle \left\langle n \right|} = \sum\limits_{m,n} {A_{mn} \left| m \right\rangle \left\langle n
\right|} \to A_{mn} a_m^\dagger a_n
\end{equation}
假设：∣∣νρ⟩=a†νa†ρ∣∣0⟩，那么：⟨νρ∣∣=⟨0∣∣aρaν, 定义双体算符：
B=∑λμ,νρ∣∣λμ⟩Bλμ,νρ⟨νρ∣∣→Bλμ,νρa†λa†μaρaν(27)
注意这里指标的次序，如果是费米型算符，指标的次序是不能任意颠倒的.
练习
a†∣∣n⟩a∣∣n⟩a†a∣∣n⟩[a,a†]====n+1‾‾‾‾‾√∣∣n+1⟩n‾‾√∣∣n−1⟩n∣∣n⟩1.
- 对玻色子，请证明：[a†a,a]=−a, [a†a,a†]=a†.
阅读
- S. Doniach & E.H. Sondheimer, Green's Functions For Solid State Physicists. (APPENDIX 1)
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