时间序列篇

平稳时间序列分析工具

在实际序列分析中有一些方法性工具经常使用，它们可以使我们的模型表达式和序列分析更加简洁、方便

差分运算

$p$阶差分

相距一期的两个序列值之间的减法运算称为 1 阶差分运算.记 $\nabla x_t$ 为 $x_t$ 的 1 阶差分:

$$\nabla x_t = x_t - x_{t-1}$$ 对 1 阶差分后序列再进行一次 1 阶差分运算称为 2 阶差分.记 $\nabla^2 x_t$ 为 $x_t$ 的 2 阶差分: $$\nabla^2 x_t = \nabla x_t - \nabla x_{t-1}$$ 依次类推，对 $p-1$ 阶差分后序列再进行一次 $1$ 阶差分运算称为 $p$ 阶差分.记 $\nabla^p x_t$ 为 $x_t$ 的 $p$ 阶差分. $$\nabla^p x_t = \nabla^{p-1} x_t - \nabla^{p-1} x_{t-1}$$

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$k$步差分

相距 $k$ 期的两个序列值之间的减法运算称为 $k$ 步差分运算.记 $\nabla_k x_t$ 为 $x_t$ 的 $k$ 步差分:

$$\nabla_k x_t = x_t - x_{t-k}$$

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延迟算子

定义

延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拔了一个时刻.记 $B$ 为延迟算子，有

$$x_{t-1} = B x_t \\ x_{t-2} = B^2 x_t \\ \vdots \\ x_{t-p} = B^p x_t$$ 延迟算子有如下性质:

1. $B^0 = 1$

2. 若 $c$ 为任一常数，有 $B(c \times x_t) = c \times B(x_t) = c \times x_{t-1}$

3. 对任意两个序列 $\{x_t\}$ 和 $\{y_t\}$，有 $B(x_t \overline{+} y_t) = x_{t-1} \overline{+} y_{t-1}$

4. $B^n x_t = x_{t-n}$

5. $(1-B)^n = \sum_{i=0}^n {(-1)^i C_n^i B^i}$，其中 $C_n^i = \frac{n!}{i!(n-i)!}$

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用延迟算子表示差分运算

$p$ 阶差分

$$\nabla^p x_t = (1-B)^p x_t = \sum_{i=0}^p{(-1)^i C_p^i x_{t-i}}$$

$k$ 步差分

$$\nabla_k x_t = x_t - x_{t-k} = (1-B^k)x_t$$

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线性差分方程

线性差分方程的定义

称如下形式的方程为序列 $\{z_t, t = 0,\overline{+}1,\overline{+}2,\cdots\}$ 的线性差分方程:

$$z_t + a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots + a_p z_{t-p} = h(t)$$ 式中，$p \geq 1;a_1,a_2,\cdots,a_p$为实数；$h(t)$为 $t$ 的已知函数.

特别地，若 $h(t) = 0$，则差分方程

$$z_t + a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots + a_p z_{t-p} = 0$$ 称为齐次线性差分方程.否则 $h(t)$ 称为非齐次线性差分方程.

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齐次线性差分方程的解

齐次线性差分方程的求解要借助它的特征方程和特征根.齐次线性差分方程的特征方程为

$$\lambda^p + a_1 \lambda^{p-1} + a_2 \lambda^{p-2} + \cdots + a_p = 0$$ 这是一个一元 $p$ 次线性方程，它应该有 $p$ 个非零根，称这 $p$ 个非零根为特征方程的特征根，不妨记作 $$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_p$$ 特征根的取值不同，齐次线性差分方程的解会有不同的表达式.下面分情况讨论:

1. $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_p$为 $p$ 个不同的实数.
   这时齐次线性差分方程的解为:

   $$z_t = c_1 \lambda_1^t + c_2 \lambda_2^t + \cdots + c_p \lambda_p^t$$ 式中，$c_1,c_2,\cdots,c_p$为任意实数.

2. $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_p$中有相同实根.
   不妨假定 $\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_d$ 为 $d$ 个相同实根，而 $\lambda_{d+1},\lambda_{d+2},\cdots,\lambda_p$为互不相同实根.这时齐次线性差分方程的解为:

   $$z_t = (c_1 + c_2 t + \cdots + c_d t^{d-1})\lambda_1^t + c_{d+1}\lambda_{d+1}^t + \cdots + c_p \lambda_p^t$$ 式中，$c_1,c_2,\cdots,c_p$为任意实数.

3. $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_p$中有复根.
   由于差分方程的系数 $a_1,a_2,\cdots,a_p$为实数，所以其复根必呈共轭出现.不妨假定

   $$\lambda_1 = a+ib = re^{i\omega},\lambda_2 = a-ib = re^{-i\omega}$$ 为一对共轭复根，其中 $r = \sqrt{a^2 + b^2},\omega = arccos{\frac{a}{r}}$，而 $\lambda_3,\lambda_4,\cdots,\lambda_p$为互不相同实根，这时齐次线性差分方程的解为: $$z_t = c_1 \lambda_1^t + c_2 \lambda_2^t + \cdots + c_p \lambda_p^t \\ = r^t(c_1 e^{it\omega} + c_2 e^{-it\omega}) + c_3 \lambda_3^t + \cdots + c_p \lambda_p^t$$ 式中，$c_1,c_2,\cdots,c_p$为任意实数.

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非齐次线性差分方程的解

求非齐次线性差分方程的解通常需要进行两步运算.首先求出齐次线性差分方程的通解 $z_t'$；然后求出该非齐次线性差分方程的一个特解 $z_t''$.

所谓特解，就是任意一个使得非齐次线性差分方程成立的值 $z_t''$，即

$$z_t'' + a_1 z_{t-1}'' + a_2 z_{t-2}'' + \cdots + a_p z_{t-p}'' = h(t)$$ 而非齐次线性差分方程的通解即为齐次线性差分方程的通解 $z_t'$ 和非齐次线性差分方程的特解 $z_t''$之和，即 $$z_t = z_t' + z_t''$$