@Dmaxiya 2020-12-15T15:27:27.000000Z 字数 10126 阅读 903

2018 Multi-University Training Contest 4

暑期集训

链接：2018 Multi-University Training Contest 4
过题数：3
排名：333/802
成员：官展鹏，冯彦博，孙昊哲

B. Harvest of Apples

题意

总共有 $n$ 个苹果，编号分别为 $1$ 到 $n$ ，问最多能摘到 $m$ 个苹果的总方案数。

输入

第一行包含一个整数 $T~(1\leq T\leq10^5)$ ，接下去有 $T$ 组数据，每组数据包含两个整数 $n$ 和 $m~(1\leq m\leq n\leq10^5)$ 。

输出

对每组数据，输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

样例

输入
2 5 2 1000 500
输出
16 924129523

题解

$n$ 个苹果最多能摘到 $m$ 个的方案数为 $\sum_{i=0}^mC_n^i$ ，由于这个公式的计算是 $O(m)$ 的，所以 $10^5$ 组数据显然超时，考虑离线莫队。
我们定义 $S_n^m=\sum_{i=0}^mC_n^i$ ，设 $C_n^{-1}=C_n^{n+1}=0$ ，则有：

$S_n^m=S_n^{m-1}+C_n^m\\ \begin{align} S_n^m&=\sum_{i=0}^mC_n^i\\ &=\sum_{i=0}^m(C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m)\\ &=2\sum_{i=0}^mC_{n-1}^i-C_{n-1}^m\\ &=2S_{n-1}^m-C_{n-1}^m \end{align}$ 于是将上标 $m$ 设为左区间 $l$ ，下标 $n$ 设为右区间 $r$ ，有以下转移方程：

$\begin{align} S_n^{m-1}&=S_n^m-C_n^m\\ S_n^{m+1}&=S_n^m+C_n^{m+1}\\ S_{n-1}^m&=\frac{1}{2}(S_n^m+C_{n-1}^m)\\ S_{n+1}^m&=2S_n^m-C_n^m \end{align}$ 方程中的每一项都可以 $O(1)$ 求得，因此总的时间复杂度为 $O(n\sqrt n)$ 。

过题代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <sstream>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn = 100000 + 100;
const int MOD = 1000000007;
struct Node {
    int l, r;
    int Index;
};
int sq;
bool operator<(const Node &a, const Node &b) {
    return a.r / sq == b.r / sq? a.l < b.l: a.r < b.r;
}
int T, n, m, l, r, Max;
int ans[maxn];
Node node[maxn];
int inv[maxn], pro[maxn], invpro[maxn];
void Init() {
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; ++i) {
        inv[i] = (LL)(MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;
    }
    pro[0] = invpro[0] = 1;
    for(int i = 1; i < maxn; ++i) {
        pro[i] = (LL)pro[i - 1] * i % MOD;
        invpro[i] = (LL)invpro[i - 1] * inv[i] % MOD;
    }
}
int get_C(int n, int m) {
    if(n < m) {
        return 0;
    }
    return (LL)pro[n] * invpro[m] % MOD * invpro[n - m] % MOD;
}
int main() {
    #ifdef Dmaxiya
    freopen("test.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif // Dmaxiya
    ios::sync_with_stdio(false);
    Max = 0;
    Init();
    scanf("%d", &T);
    for(int i = 0; i < T; ++i) {
        scanf("%d%d", &node[i].r, &node[i].l);
        node[i].Index = i;
        Max = max(Max, node[i].r);
    }
    sq = sqrt(Max);
    sort(node, node + T);
    l = 1;
    r = 0;
    LL tmp = 1;
    LL ttmp;
    for(int i = 0; i < T; ++i) {
        while(r < node[i].r) {
            ttmp = tmp + tmp;
            if(ttmp >= MOD) {
                ttmp -= MOD;
            }
            tmp = ttmp - get_C(r, l);
            if(tmp < 0) {
                tmp += MOD;
            }
            ++r;
        }
        while(l > node[i].l) {
            tmp = tmp - get_C(r, l);
            if(tmp < 0) {
                tmp += MOD;
            }
            --l;
        }
        while(r > node[i].r) {
            ttmp = tmp + get_C(r - 1, l);
            if(ttmp >= MOD) {
                ttmp -= MOD;
            }
            tmp = (ttmp * inv[2]) % MOD;
            --r;
        }
        while(l < node[i].l) {
            tmp = tmp + get_C(r, l + 1);
            if(tmp >= MOD) {
                tmp -= MOD;
            }
            ++l;
        }
        ans[node[i].Index] = tmp;
    }
    for(int i = 0; i < T; ++i) {
        printf("%d\n", ans[i]);
    }
    return 0;
}

D. Nothing is Impossible

题意

一个班上有 $m$ 个学生参加考试，试卷上总共有 $n$ 道题，每道题有 $a_i$ 个正确选项和 $b_i$ 个错误选项，每个学生每道题只能从 $a_i+b_i$ 个选项中选择一个选项作为答案，每个学生都不知道正确答案，但是这个教室内的学生在考试期间可以相互讨论，且他们十分团结，他们想让班上的最高分的做对的题数最多，问他们在采取最优策略下，能够做对的最多的题数。

输入

第一行为一个整数 $T~(1\leq T\leq100)$ ，接下去有 $T$ 组数据，每组数据第一行为两个整数 $n,m~(1\leq n\leq100,1\leq m\leq10^9)$ ，接下去 $n$ 行每行两个整数 $a_i,b_i~(1\leq b_i\leq100,a_i=1)$ 。

输出

输出最高分能够做对的最多的题数。

样例

输入
2 3 5 1 3 1 3 1 3 5 50 1 1 1 3 1 2 1 3 1 5
输出
1 3

题解

个人认为这题应该加一个“最高分至少能够做对的题数”，即在他们所有人运气都最坏的情况下，能够做对的题数的最大值，最优策略就是让所有人的答案填法按照 $b_i$ 进制一个一个地填上去，如果能够达到第 $i$ 位，则说明第 $i$ 位以下的所有情况都已经填上去，也就至少能够保证做对 $i-1$ 道题，为了让位数增长最快，应该让 $b_i$ 值小的作为低位。

过题代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <sstream>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn = 100 + 100;
struct Node {
    int a, b;
};
bool operator<(const Node &a, const Node &b) {
    return a.b < b.b;
}
int T, n, m, ans;
Node node[maxn];
int num[maxn];
int main() {
    #ifdef Dmaxiya
    freopen("test.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif // Dmaxiya
    ios::sync_with_stdio(false);
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        ans = 0;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            scanf("%d%d", &node[i].a, &node[i].b);
        }
        sort(node, node + n);
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            if(m > node[i].b) {
                ++ans;
            }
            m /= (node[i].b + 1);
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

E. Matrix from Arrays

题意

给定一个长度为 $L$ 的数组 $A_0,A_1\cdots A_{L-1}$ ，用以下代码生成一个无穷大矩阵：

int cursor = 0;
for (int i = 0; ; ++i) {
    for (int j = 0; j <= i; ++j) { 
        M[j][i - j] = A[cursor];
        cursor = (cursor + 1) % L;
    }
}

有 $Q$ 次询问，每次询问为从第 $x_0$ 行 $y_0$ 列到第 $x_1$ 行 $y_1$ 列的子矩阵中数字的和。

输入

第一行为一个整数 $T~(1\leq T\leq100)$ ，接下有 $T$ 组数据，每组数据第一行为一个整数 $L~(1\leq L\leq10)$ ，第二行为 $L$ 个整数 $A_0,A_1\cdots,A_{L-1}~(1\leq A_i\leq100)$ ，第三行为一个整数 $Q~(1\leq Q\leq100)$ ，接下去 $Q$ 行每行四个整数 $x_0,y_0,x_1,y_1~(0\leq x_0\leq x_1\leq10^8,0\leq y_0\leq y_1\leq10^8)$ 。

输出

对于每次询问，输出结果。

样例

输入
1 3 1 10 100 5 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 5 8 5 1 10 10 9 99 999 1000
输出
1 101 1068 2238 33076541

题解

打表可以发现矩阵的循环节为 $2L$ ，因此可以只打出 $2L\times2L$ 的矩阵，就可以通过循环节求出所有矩阵的值，设 $S_{x,y}$ 为无穷大矩阵前 $x$ 行 $y$ 列的和，则所求子矩阵的和为

$S_{x_1,y_1}-S_{x_0-1,y_1}-S_{x_1,y_0-1}+S_{x_0-1,y_0-1}$ 注意 $x_0,y_0$ 取得 $0$ 的情况。

过题代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <sstream>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn = 100 + 100;
int T, n, q;
int a[maxn];
LL num[maxn][maxn];
LL Sum(int x, int y) {
    if(x < 0 || y < 0) {
        return 0;
    }
    int nn = n << 1;
    LL ret = num[nn - 1][nn - 1] * ((x + 1) / nn) * ((y + 1) / nn);
    int xx = x % nn;
    int yy = y % nn;
    if(xx != nn - 1) {
        ret += num[xx][nn - 1] * ((y + 1) / nn);
    }
    if(yy != nn - 1) {
        ret += num[nn - 1][yy] * ((x + 1) / nn);
    }
    if(xx != nn - 1 && yy != nn - 1) {
        ret += num[xx][yy];
    }
    return ret;
}
int main() {
    #ifdef Dmaxiya
    freopen("test.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif // Dmaxiya
    ios::sync_with_stdio(false);
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        int Index = 0;
        for(int i = 0; i < maxn; ++i) {
            for(int j = 0; j <= i; ++j) {
                num[j][i - j] = a[Index];
                Index = (Index + 1) % n;
            }
        }
        for(int i = 0; i < maxn; ++i) {
            for(int j = 0; j < maxn; ++j) {
                if(i != 0) {
                    num[i][j] += num[i - 1][j];
                }
                if(j != 0) {
                    num[i][j] += num[i][j - 1];
                }
                if(i != 0 && j != 0) {
                    num[i][j] -= num[i - 1][j - 1];
                }
            }
        }
        scanf("%d", &q);
        int x1, x2, y1, y2;
        while(q--) {
            scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
            LL ans = Sum(x2, y2) + Sum(x1 - 1, y1 - 1);
            ans -= Sum(x2, y1 - 1) + Sum(x1 - 1, y2);
            printf("%I64d\n",  ans);
        }
    }
    return 0;
}

J. Let Sudoku Rotate

题意

有一个 $16\times16$ 的数独，其中的每一行、每一列、每一 $4\times4$ 的方格内都不重复地包含 $0$ 到 $F$ 的每一个十六进制数， $Kazari$ 已经完成了一个数独，但是被 $Minato$ 逆时针旋转了其中的某几个 $4\times4$ 的方格，给出旋转后的方格，问最少需要几步才能从原数独逆时针旋转到当前状态。

输入

第一行为一个整数 $T~(1\leq T\leq10^3)$ ，接下来有 $T$ 组数据，每组数据为一个 $16\times16$ 的字符矩阵，矩阵中只包含 $'0'$ 到 $'9'$ 以及 $'A'$ 到 $'F'$ 这 $16$ 种字符，表示最终的数独状态。

输出

输出一个非负整数，表示最少需要的操作次数。

样例

输入
1 `681D5A0C9FDBB2F7` `0A734B62E167D9E5` `5C9B73EF3C208410` `F24ED18948A5CA63` `39FAED5616400B74` `D120C4B7CA3DEF38` `7EC829A085BE6D51` `B56438F129F79C2A` `5C7FBC4E3D08719F` `AE8B1673BF42A58D` `60D3AF25619C30BE` `294190D8EA57264C` `C7D1B35606835EAB` `AF52A1E019BE4306` `8B36DC78D425F7C9` `E409492FC7FA18D2`
输出
5
提示
原数独按照如下方式旋转可以得到所输入的数独：

题解

将每个 $4\times4$ 格子顺时针旋转，每次旋转检查是否与当前格子左上方的所有格子冲突，若冲突则剪枝，否则继续往下搜索，“由于数独限制较强，剪枝效果良好。”

过题代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <sstream>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn = 100;
int T, cnt, ans;
int num[maxn][maxn], Copy[maxn][maxn];
char str[maxn][maxn];
int vis[20];
void Print() {
    for(int i = 0; i < 16; ++i) {
        for(int j = 0; j < 16; ++j) {
            printf("%3d", num[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}
void rot(int x, int y) {
    for(int i = 0; i < 4; ++i) {
        for(int j = 0; j < 4; ++j) {
            Copy[x + j][y + 3 - i] = num[x + i][y + j];
        }
    }
    for(int i = 0; i < 4; ++i) {
        for(int j = 0; j < 4; ++j) {
            num[x + i][y + j] = Copy[x + i][y + j];
        }
    }
}
bool Check(int x, int y) {
    for(int i = x; i < x + 4; ++i) {
        ++cnt;
        for(int j = 0; j < y + 4; ++j) {
            if(vis[num[i][j]] == cnt) {
                return false;
            }
            vis[num[i][j]] = cnt;
        }
    }
    for(int j = y; j < y + 4; ++j) {
        ++cnt;
        for(int i = 0; i < x + 4; ++i) {
            if(vis[num[i][j]] == cnt) {
                return false;
            }
            vis[num[i][j]] = cnt;
        }
    }
    return true;
}
void dfs(int depth, int step) {
    if(depth == 16) {
        ans = min(ans, step);
        return ;
    }
    int x = depth / 4;
    int y = depth % 4;
    for(int i = 0; i < 4; ++i) {
        if(Check(x * 4, y * 4)) {
            dfs(depth + 1, step + i);
        }
        rot(x * 4, y * 4);
    }
}
int main() {
    #ifdef Dmaxiya
    freopen("test.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif // Dmaxiya
    ios::sync_with_stdio(false);
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        for(int i = 0; i < 16; ++i) {
            scanf("%s", str[i]);
            for(int j = 0; j < 16; ++j) {
                if(str[i][j] <= '9') {
                    num[i][j] = str[i][j] - '0';
                } else {
                    num[i][j] = str[i][j] - 'A' + 10;
                }
            }
        }
        ans = INT_MAX;
        dfs(0, 0);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

K. Expression in Memories

题意

给定一个合法表达式的定义（即我们平时认为的合法表达式）：表达式中每个数字除 $0$ 以外其他数字不包含前导零，表达式中只包含加号和乘号，两个数字之间只能包含一个加号或乘号，加号和乘号必须包含在数字之间。给定一个字符串，字符串中只含有字符 0 到 9、+、*以及 ?，其中 ? 可以被替换成任意一个字符，如果可以将给出的字符串替换为合法的表达式，则输出替换后的表达式，否则输出 $IMPOSSIBLE$ 。

输入

第一行为一个整数 $T$ ，接下去有 $T$ 组数据，每组数据为一行字符串 $s~(1\leq|s|\leq500,\sum|s|\leq10^5)$ ，字符串中只包含字符 0 到 9 和 +、*、?。

输出

如果可以通过替换其中的所有 ? 成为一个合法的表达式，则输出最终的合法表达式，否则输出 $IMPOSSIBLE$ ，若有多解输出任意一个。

样例

输入
5 `?????` `0+0+0` `?+*??` `?0+?0` `?0+0?`
输出
`11111` `0+0+0` `IMPOSSIBLE` `10+10` `IMPOSSIBLE`

题解

首先如果有 ? 在一个单独的零（零前无字符，或者是加号与乘号）后面，就将 ? 替换为 +，否则将 ? 替换为 1，替换结束后检查字符串格式是否为一个合法的表达式，如果是则输出字符串，否则输出 $IMPOSSIBLE$ 。

过题代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <sstream>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn = 500 + 100;
int T;
char str[maxn];
bool single_zero(int Index) {
    if(str[Index] != '0') {
        return false;
    }
    if(Index == 0 || str[Index - 1] == '+' || str[Index - 1] == '*') {
        return true;
    }
    return false;
}
bool Check() {
    int len = strlen(str);
    if(!isdigit(str[0]) || !isdigit(str[len - 1])) {
        return false;
    }
    int Index = 0;
    while(Index < len) {
        if(str[Index] == '0' && isdigit(str[Index + 1])) {
            return false;
        }
        while(Index < len && str[Index] != '+' && str[Index] != '*') {
            ++Index;
        }
        ++Index;
        if(Index >= len) {
            return true;
        }
        if(!isdigit(str[Index])) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
int main() {
    #ifdef Dmaxiya
    freopen("test.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif // Dmaxiya
    ios::sync_with_stdio(false);
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%s", str);
        for(int i = 0; str[i]; ++i) {
            if(str[i] == '?') {
                if(i > 0 && single_zero(i - 1)) {
                    str[i] = '+';
                } else {
                    str[i] = '1';
                }
            }
        }
        if(Check()) {
            printf("%s\n", str);
        } else {
            printf("IMPOSSIBLE\n");
        }
    }
    return 0;
}

L. Graph Theory Homework

题意

给定 $n$ 个节点的完全图，每个节点都有一个权值 $w_i$ ，节点 $i$ 和节点 $j$ 之间的边权为 $\lfloor\sqrt{|w_i-w_j|}\rfloor$ ，问从节点 $1$ 到节点 $n$ 的最短路径长度。

输入

第一行为一个整数 $T~(1\leq T\leq10)$ ，接下来有 $T$ 组数据，每组数据第一行为一个整数 $n~(1\leq n\leq10^5)$ ，第二行有 $n$ 个整数 $w_1,w_2,\cdots,w_n~(1\leq w_i\leq10^5)$ 。

输出

输出节点 $1$ 到节点 $n$ 的最短路径。

样例

输入
1 3 1 3 5
输出
2

题解

从节点 $1$ 到节点 $n$ 之间，经历的中间节点越多， $1$ 到 $n$ 的距离越长，最短距离就是从节点 $1$ 到 $n$ 的边权。

过题代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <sstream>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn = 100000 + 100;
int T, n;
int num[maxn];
int main() {
    #ifdef Dmaxiya
    freopen("test.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif // Dmaxiya
    ios::sync_with_stdio(false);
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            scanf("%d", &num[i]);
        }
        printf("%d\n", (int)sqrt(abs(num[n] - num[1])));
    }
    return 0;
}

2018 Multi-University Training Contest 4

B. Harvest of Apples

题意

输入

输出

样例

题解

过题代码

D. Nothing is Impossible

题意

输入

输出

样例

题解

过题代码

E. Matrix from Arrays

题意

输入

输出

样例

题解

过题代码

J. Let Sudoku Rotate

题意

输入

输出

样例

题解

过题代码

K. Expression in Memories

题意

输入

输出

样例

题解

过题代码

L. Graph Theory Homework

题意

输入

输出

样例

题解

过题代码

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