球放袋子系列题目

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1. 判断 $n$ 个球能否平均放到 $x$ 个袋子里，使每个袋子中的球数相等？
2. 有 $n$ 种颜色的球，每种颜色的球的数量为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，要将这些球平均放到 $x$ 个袋子里，要求每个袋子里所有球的颜色相同，且每个球袋中球的个数都相等，最少需要多少个袋子？
3. 有 $x$ 个袋子，每个袋子中球的数量为 $a_1,a_2,\cdots,a_x$，现在对这些袋子进行 $m$ 次操作，每次操作由两个数字 $(a_i,b_i)$ 表示将第 $a$ 个袋子与第 $b$ 个袋子交换位置，输出最后每个位置上的袋子内球的数量。
4. 有 $x$ 个袋子，每个袋子里的球的数量为 $a_1,a_2,\cdots,a_x$，现在要将某些球从一个袋子中取出放到另一个袋子里，使每一个袋子里的球的数量等于 $b_1,b_2,\cdots,b_x$，问最少需要将多少个球从一个袋子中取出放入另一个袋子？
5. 有 $x$ 个袋子，每个袋子里球的数量为 $a_1,a_2,\cdots,a_x$，现在要将某些球从一个袋子里取出放到另一个袋子里，使每一个袋子里的球的数量等于 $b_1,b_2,\cdots,b_x$，如果某个球从第 $i$ 个袋子中取出放到第 $j$ 个袋子里，需要花费 $|i-j|$ 元钱，问最少需要多少钱？
6. 题面同 $4$，加上一条限制，球只能在 $x-1$ 对袋子 $(i,j)$ 中从袋子 $i$ 中取出放入到袋子 $j$ 中，或者从袋子 $j$ 取出放入袋子 $i$ 中，且这 $x-1$ 对袋子保证通过以上操作能使得任意一个袋子 $i$ 中的球被放入到任意一个其他袋子 $j$ 中，问要使得每个袋子中球的数量从 $a_1,a_2,\cdots,a_x$ 变为 $b_1,b_2,\cdots,b_x$ 最少得操作次数。
7. 其他条件同 $6$，修改一条限制，有 $m$ 对袋子 $<i,j>$，可以将球从第 $i$ 个袋子中取出放到袋子 $j$ 中，但不能反过来操作，问最少再加上多少对这样的袋子对，能够使任意两个袋子里的球相互交换？
8. 有黑白两种颜色的球共 $kx$ 个，将这些球平均放到 $x$ 个袋子里，问总共有多少种不同的放法？如果将每个袋子中白色球的数量记为 $a_i$，黑色球的数量记为 $b_i$，则两种方案被认为是不同的，当且仅当 $a_{1i}\neq a_{2i}$ 或者 $b_{1i}\neq b_{2i}$。