论文推导：用已知轨迹生成imu仿真数据

roborock

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0620@jiayao
论文链接：\192.168.111.49\Shares\PRIVATE\Team\Slam\VIO\第2课附加题论文Lovegrove_etal_BMVC2013.pdf

abstract:
该文介绍了一种通用于SLAM和标定的连续时间框架，利用样条参数化
可以紧密地匹配到传感器的微小扭动.和传统离散时间方法相比,连续时间方法对于高频率传感器和多个未同步的传感器十分有效。
该文证明了方法通过准确地建立相关姿态和内部参数适用于多个未同步的传感器的SLAM和标定，通过评价和统一处理global and rolling shutter cameras展示该方法在VIO系统上的优势。

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累积B样条参数化允许我们计算分析时间导数，这使我们能够细碎地合成加速度计和陀螺仪的测量值，反过来我们可以利用他们来衡量观测的误差.
vio data中imu的数据可以建模为：

$$Gyro(u)= R^T_{w,s}(u){\cdot}\dot{R}_{w,s}(u)+bias\\ Accel(u)= R^T_{w,s}(u){\cdot}(\ddot{s}_w(u)+g_w)+bias$$
其中，
${T}_{w,s} \in{\Bbb{SE3}}$是s系中的点在w系中的转移，
$R^T_{w,s}$是${T}_{w,s}$的子矩阵，代表纯旋转
${s}_w(u)$是${T}_{w,s}$的子矩阵，代表平移
$g_w$是重力在w系中的加速度。

其中转移${T}_{w,s} \in{\Bbb{SE3}}$是如何计算的呢:
已知一些点可以用B-Splines的方式拟合成连续的曲线。
曲线$p(t)$可以用控制点$p_i$和基本方程$B_{i,k}(t)$表示

$$p(t)=\sum^n_{i=0}p_iB_{i,k}(t) \tag1$$
写成累积的方式,将上式表示为第0个控制点位置加上后面两两个控制点之间的转移,其中$\tilde{B}_{i,k}(t)=\sum_{j=1}^n B_{j,k}(t)$
$$p(t)=p_0\tilde{B}_{0,k}(t)+\sum^n_{i=1}(p_i-p_{i-1})\tilde{B}_{i,k}(t) \tag2$$
将$p_0$映射到李代数上：$p_0=\log(T_{w,0})$
将$p_i$,$p_{i-1}$两两个点之间的转移映射到李代数上$\Omega_i=log(T^{-1}_{w,i-1}T_{w,i})$，
则有，
$$p(t)= exp(\tilde{B}_{0,k}(t)\log(T_{w,0}))\prod^n_{i=1}\exp(\tilde{B}_{i,k}(t)\Omega_i) \tag3\\ $$

?? (2)->(3)推导

本方法中利用的是累积的三次B-Splines方法。

假设控制点是在均匀时间间隔中分布的，控制点在$t\in[t_i,t_{i+1})$时间段内的组合为$[t_{i-1},t_i,t_{i+1},t_{i+2}]$，均一地表示时间$s(t)=(t-t_0)/{\Delta}t$,如此，$t_i$时刻的控制点在$s(t)\in[0,1,...,n]$均匀分布
给时间$s_i<s(t)<s_{i+1}$定义$u(t)=s(t)-s_i$

$$T_{w,s}(u)=T_{w,i-1} \prod_{j=1}^3{\exp(\tilde{B}(u)_j\Omega_{i+j})}$$
其中$B$为基本累积样条函数,$\tilde{B}_{i,k}(t)=\sum_{j=1}^n B_{j,k}(t)$
$\Omega_i=log(T^{-1}_{w,i-1}T_{w,i})$为两个控制点之间的转移在李代数上的映射