第七讲 微分方程模型 —— 传染病模型

数学建模 讲义 NUDT 2023SP

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关注的问题

• 传染病（Infectious Disease）的传播过程中，我们通常关心以下的一些问题：
  
  • 传染人数的变化，包括每日增量、累计增量，何时达到增量峰值，峰值为多少？
  • 感染者清零将需要多长时间？
  • 基本传染数 $R_0$ 是什么含义？
  • 控制病毒传染的主要措施有哪些？
  • 控制措施的效果如何？

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Compartmental Models in Epidemiology

• 仓室模型 是一种非常普遍的建模技术，它们经常被应用于传染病的数学建模.
• 人口被分配到带有标签的群组（仓室），例如，S、I 或 R，（易感、感染或恢复），并且可以在不同的仓室间转换.
• 这类模型起源于 20 世纪初，早起的重要贡献者包括：Ronald Ross、Hilda Phoebe Hudson、A. G. McKendrick、W. O. Kermack、David George Kendall、Lowell Reed 以及 Wade Hampton Frost.
• 此类最常使用常微分方程（是确定性的）来运行，但也可以使用随机（随机）框架，后者更接近实际情况，但分析起来也更复杂。

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对象分类

通常传染病流行范围内的人群可分为三类：

• S 类 （易感人群，Susceptible），通常指未感染疾病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后可能受到感染；
• I 类 （感染人群，Infective），指感染疾病的人，可能传染 S 类成员；
• R 类 （移出人群，Removed），指被隔离、治愈或死亡而不会被感染的人.
• 更细致一点还可分为：潜伏 (Incubation) 人群，无症状感染 (Asympotomatic Infection) 人群等.

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7.1 传染者增长模型

• 记 $i(t)$ 为 $t$ 时刻的感染者数量.
• 假设： 每个感染者平均每天传染的人数为常数 $\lambda$ （平均感染率）
• 模型：$\bbox[yellow]{\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\lambda i}$.
  
  • 解得 $i(t)=i(t_0)\mathrm{e}^{\lambda(t-t_0)}$，不难看出 $\lim\limits_{t\to\infty}i=\infty$.
• 在一个总人数有限的环境中，这个结论并不合理.

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7.2 “易感者-感染者” (SI) 模型

• 假设： 总人数固定，由感染者和易感者两类人群构成.
• 记 $s(t),\;i(t)$ 分别为 $t$ 时刻的易感者和感染者的比例.
• SI 模型：$\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\lambda si\\ s+i=1 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\bbox[lightgreen]{\lambda i(1-i)}\\ i(0)=i_0 \end{cases}$
• SI 模型是一个 Logistics 模型，其解 $i(t)=\dfrac{1}{1+(1/i_0-1)\mathrm{e}^{-\lambda t}}$
• 当 $t_m=\dfrac{1}{\lambda}\ln(1/i_0-1)$ 时，传染达到高峰（感染人数增长率最大）.

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7.3 “易感者-感染者-易感者” (SIS) 模型

• 增加假设： 传染病无免疫性，即：感染者可治愈成为健康人，但健康人又可被再次感染.
• 记 $\mu$ 为病人的 平均治愈率（每天治愈的比例）.
• SIS 模型 $\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\lambda i(1-i)\bbox[lightblue]{-\mu i}\\ i(0)=i_0 \end{cases}$
• $R_0=\lambda/\mu$ 一般称为 基本传染数 (基本再生数，Basic Reproduction Rate).
  
  • 在流行病学上，$R_0$ 是指在没有任何防疫作为介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染的初发个案，会把疾病传染给其他多少个人的平均数.

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定性分析

$$\bbox[yellow]{\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=-\lambda i\left[i-(1-R_0^{-1})\right]}$$

• $R_0>1$ 时，平衡点 $i=1-R_0^{-1}$ 是稳定的.
  
  • 若 $i_0>1-R_0^{-1}$，则 $i(t)$ 单调递减；
  • 若 $0<i_0<1-R_0^{-1}$，则 $i(t)$ 沿 Logistics 曲线单调递增.
• $R_0<1$ 时，平衡点 $i=0$ 是稳定的.

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7.4 “易感者-感染者-免疫者” (SIR) 模型

• 假设：传染病有免疫性，即：感染者治愈后即移出感染系统，称移出者.
• 记 $r(t)$ 为 $t$ 时刻的移除者比例.
• SIR 模型：$\begin{cases} \bbox[yellow]{\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\lambda si-\mu i}\\ \bbox[yellow]{\dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=-\lambda si}\\ i(0)=i_0,\;s(0)=s_0 \end{cases}$
• 一般认为 $r(0)\approx 0$，故 $i_0+s_0\approx 1$.

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模型分析

$$\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\lambda si-\mu i\\ \dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=-\lambda si\\ i(0)=i_0,\;s(0)=s_0 \end{cases}\qquad\Rightarrow\qquad \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}s}=\dfrac{1}{R_0 s}-1\\ i\big|_{s=s_0}=i_0 \end{cases}$$

• 解得 $i(s)=(s_0+i_0)-s+\dfrac{1}{R_0}\ln\dfrac{s}{s_0}$.
  
  • 且满足：$s\geq 0,\;i\geq 0,\;s+i\leq 1$.

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定性分析

• 由 $\dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=-\lambda si<0$ 可知，$s(t)$ 单调递减，由此可以确定轨线的方向.
• 进而可知 $i(t)\to 0\;(t\to\infty)$.
• 当 $s=R_0^{-1}$ 时，疫情达到最高峰.
• $s_{\infty}=s(\infty)$ 满足 $s_0+i_0-s_{\infty}+\dfrac{1}{R_0}\ln\dfrac{s_{\infty}}{s_0}=0$.

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定性分析

• $P_1$：$s_0>R_0^{-1}$
  
  • $i(t)$ 先升后降，最后至 0
  • 传染发生了蔓延
• $P_2$：$s_0<R_0^{-1}$
  
  • $i(t)$ 单调递减至 0
  • 传染未发生蔓延

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预防蔓延的手段

• 不蔓延的条件： $s_0<R_0^{-1}$
• 预防手段
  
  1. 提高阈值 $R_0^{-1}$
     
     • 降低日感染率 $\lambda$：戴口罩、隔离、减少流动
     • 提高日治愈率 $\mu$：增加医疗投入、建设方舱医院
  2. 减少易感者 $s_0$
     
     • 提高免疫率 $r_0$：推广疫苗、产生群体免疫

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群体免疫的条件

• 疾病不蔓延：$s_0<R_0^{-1}<1$.
• 初始时刻 $s_0+i_0\approx 1$，
  
  • 于是有 $1-i_0<R_0^{-1}$,
  • 也即 $i_0\geq 1-R_0^{-1}$.
• 考虑移出人群，则 群体免疫条件 可表达为 $\bbox[yellow]{r_0+i_0\geq 1-R_0^{-1}}$.

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常见传染性疾病的基本传染数

$\boxed{\begin{array}{c|c|c} \text{疾病} & \text{传播途径} & R_0\\ \hline \text{麻疹} & \text{空气传播} & 12-18\\ \hline \text{白喉} & \text{唾液} & 6-7\\ \hline \text{天花} & \text{空气传播、飞沫传播} & 5-7\\ \hline \text{脊髓灰质炎} & \text{粪口传播} & 5-7\\ \hline \text{SARS} & \text{空气传播、飞沫传播、粪口传播} & 2-5\\ \hline \text{流行性感冒} & \text{空气传播、飞沫传播} & 2-3\\ \hline \text{Ibola 出血热} & \text{体液传播} & 1.5-2.5\\ \hline \text{COVID-19} & \text{空气传播、飞沫传播、粪口传播} & \begin{array}{c} 1.4-3.8\\ 3.8-8.9(\text{截止2020.6})\\ \text{Delta 变株：}5.1；\text{Alpha 变株：}4-5；\text{Omicron 变株：}7 \end{array}\\ \hline \text{中东呼吸综合征} & \text{呼吸道飞沫} & 0.3-0.8\\ \hline \text{普通感冒} & \text{呼吸道飞沫} & 2-3 \end{array}}$

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7.5 “易感者-潜伏者-感染者-免疫者” 模型

• 假设：传染病存在潜伏期，即：易感人员被感染者感染后变为潜伏期人员，潜伏期内没有感染性，潜伏者经过感染期后可恢复.
• 记 $e(t)$ 为 $t$ 时刻潜伏者所占的比例.
  
  • $s(t)+i(t)+e(t)+r(t)=1.$
• 记 $\alpha$ 为潜伏者发展为感染者的速率.

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SEIR 模型

$$\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=-\lambda si\\ \dfrac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}=\lambda si-\alpha e\\ \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\alpha e-\mu i\\ \dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\mu i\\ i(0)=i_0,\;s(0)=s_0,\;e(0)=e_0 \end{cases}$$

• 假设初始时刻移出者数量近似为 0，则 $s_0+i_0+e_0\approx 1$.

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模型差分化

• 显式差分方程：$\begin{cases} s(t)=s(t-1)-\lambda s(t-1)i(t-1)\\ e(t)=e(t-1)+\lambda s(t-1)i(t-1)-\alpha e(t-1)\\ i(t)=i(t-1)+\alpha e(t-1)i(t-1)-\mu i(t-1)\\ i(0)=i_0,\;s(0)=s_0,\;e(0)=e_0 \end{cases}$
• 隐式差分方程： $\begin{cases} s(t)=s_0-\lambda\sum\limits_{k=1}^ts(k)i(k)\\ e(t)=e_0+\lambda\sum\limits_{k=1}^ts(k)i(k)-\alpha\sum\limits_{k=1}^te(k)\\ i(t)=i_0+\alpha\sum\limits_{k=1}^te(k)-\mu\sum\limits_{k=1}^ti(k)\\ \end{cases}$

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显示方法与隐式方法

• 显式方法（explicit method）和 隐式方法（implicit methods）是数值分析中计算以时间为自变数的常微分方程和偏微分方程的数值近似法，也是偏微分方程中计算机模拟会使用的方法.
  
  • 显式方法用系统目前的状态来计算下一个时间的状态，得到的方程形如：$\bbox[yellow]{Y(t+\Delta t)=F(Y(t))}$
  • 隐式方法会将系统目前状态和下一个时间的状态以方程式的方式表示，下一个时间的状态为未知数，须求解方程式来得到下一个时间的状态，得到的方程形如：$\bbox[lightgreen]{G(Y(t),Y(t+\Delta t))=0}$，需求解方程才能得到下一个时间的状态.

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方法的选择

• 隐式方法需要对方程 $G(Y(t),Y(t+\Delta t))=0$ 进行求解，需要额外的计算，也比较不容易实现.
• 显式方法比较容易实现，但许多时候为了将误差控制在一定范围内，需要非常小的 $\Delta t$.
  
  • 遇到此类的问题，通常可以用隐式方法，选取较大的时间间隔，从而在较少的运算量下得到结果.
  • 但是，隐式方法并不能用在每一种微分方程的求解上.

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前向与后向 Euler 方法

• Euler 方法是实现微分方程离散化的常用手段，并且分别会得到显式和隐式的离散化方程.
• 例：考虑方程 $y'=f(y)$
  
  • 前向 Euler 法：$y(t+\Delta t)=y(t)+\Delta t f(y(t))$
  • 后向 Euler 法：$y(t+\Delta t)=y(t)+\Delta t f(y(t+\Delta t))$
  • Crank–Nicolson 方法：$y(t+\Delta t)-y(t)=\dfrac{\Delta t}{2} [f(y(t+\Delta t))+f(y(t))]$

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不同离散方法的结果比较

例： $y'=-y^2$

• 前向 Euler 法：$y(t+\Delta t)=y(t)-\Delta t y^2(t)$
• 后向 Euler 法：$y(t+\Delta t)+\Delta t y^2(t+\Delta t)=y(t)$
• Crank–Nicolson 方法：$y(t+\Delta t)+\dfrac{1}{2}y^2(t+\Delta t)=y(t)-\dfrac{1}{2}y^2(t)$
• 参数：$\Delta t=0.5$，$y(0)=1$，$t\in[0,5]$

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数值解

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初值的影响

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潜伏期的影响

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不同人群比例随时间的变化

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7.6 COVID-19 的传播分析

• 不同于经典传染病传播模型， COVID-19 的传播有三个典型特征：
  
  • 潜伏期较长，前期达到14天左右
  • 处于潜伏期的感染者具有传染能力
  • 存在无症状感染者且其同样具有传染能力

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状态转移模型

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模型参数

• $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$：S 接触到 E、H 和 I 后被感染的比例
• $\beta_1,\beta_2$：E 转化为 I 和 H 的比例
• $\gamma$：H 被发现（隔离）的比例
• $\eta$：I 被治愈或死亡的比例
• $N$：人口总数
• $C_1$：E、H 与 S 的接触频率
• $C_2$：I 与 S 的接触频率
• $k$：I 中未被及时隔离的比例

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COVID-19 的传播模型

$$\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=-\alpha_1C_1\dfrac{S}{N}E-\alpha_2C_1\dfrac{S}{N}H-\alpha_3C_2\dfrac{S}{N}kl\\ \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\alpha_1C_1\dfrac{S}{N}E+\alpha_2C_1\dfrac{S}{N}H+\alpha_3C_2\dfrac{S}{N}kl-\beta_1E-\beta_2E\\ \dfrac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\beta_2E-\gamma H\\ \dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\beta_1E+\gamma H-\eta I\\ \dfrac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}=\eta I\\ S+E+H+I+R=N \end{cases}$$

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参数取值范围

查阅文献，给出参数的大致范围

• 潜伏者与无症状感染者、感染者与易感者的接触频率：$C_1,C_2\in[2,15]$
• $\alpha_1\in[0.02,0.2]$
• $\alpha_2=\alpha_1/3$：无症状感染者的感染能力约为潜伏者的 $1/3$
• $\alpha_3=1.1\alpha_1$：感染者的感染能力是潜伏者的 1.1 倍
• $\beta_1\in[0.15,0.3]$：平均潜伏期为 3 到 7 天
• $\beta_2\in[\beta_1/5,\beta_1/3]$：潜伏者转化为无症状感染者的比例为转化为感染者的比例的 1/5 到 1/3
• $\gamma\in[0.01,0.3]$：无症状感染者被发现的“速度”
• $t_0\in[T-45,T-30]$：$T$ 为公布数据的时间，仿真开始的时间范围为公布数据的前 45 到 30 天

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参数估计

目标函数（估计的均方误差）

$$F(\Theta)=\sum\limits_{i=1}^n\left[(x_i^r-x_i^m(\Theta))^2+(y_i^r-y_i^m(\Theta))^2+(z_i^r-z_i^m(\Theta))^2+(R_i^r-R_i^m(\Theta))^2\right]$$

• 其中 $x,y,z,R$ 分别对应累积确诊人数、当前确诊人数、新增病例和移除病例人数.
  
  • $x_i^r,y_i^r,z_i^r,R_i^r$：第 $i$ 天的真实数据
  • $x_i^m(\Theta),y_i^m(\Theta),z_i^m(\Theta),R_i^m(\Theta)$：在参数配置 $\Theta$ 之下的估计值

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意大利疫情数据仿真

$$\boxed{\begin{array}{c|c} \text{参数} & \text{取值}\\ \hline C_1 & \begin{array}{l}\text{3 月 17 日前均值约为 9}\\ \text{3 月 18 日 - 5 月 15 日均值约为 2}\end{array}\\ \hline C_2 & 2\\ \hline \alpha_1 & 0.0417\\ \hline \alpha_2 & 0.0230\\ \hline \alpha_3 & 0.0459\\ \hline \beta_1 & 0.1758\\ \hline \beta_2 & 0.0439\\ \hline \gamma & 0.1441\\ \hline \eta & \begin{array}{l}\text{2.20-5.15 根据数据计算}\\ \text{其他时间根据均值预测}\end{array}\\ \hline k & 0.1\\ \end{array}}$$

2020 年 2 月 20 日 —— 5 月 15 日

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结果与验证

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7.7 其他的传染病模型

SIS (有垂直传染且有输入输出) 模型

• 假设： 因为人口迁移，人口总数存在一定的变动
• $A$：易感者随时间的输入率；$B$：易感者随时间的输出率；$a$：因病死亡率；$b$：出生率.
• $\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=A+bS-\beta SI-dS-BS+\gamma I\\ \dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=bI+\beta SI-dI-\gamma I-BI-a I\\ \end{cases}$

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MSEIR (有先天免疫，无垂直感染) 模型

• 假设： 考虑人口出生带来的数量变化，且部分新生儿具有暂时的免疫
• $\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}t}=\mu bN-bI-\delta M\\ \dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=\delta M+(1-\mu) bN-bS-\beta SI\\ \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\beta SI-bE-\omega E\\ \dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\omega E-bI-aI-\gamma I\\ \dfrac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}=\gamma I-bR\\ \end{cases}$
• $\mu$：新生儿中具有先天暂时免疫的比例，平均先天免疫期 $1/\delta$

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具有时滞的传染病动力学模型

• 例： 具有常数潜伏期 $\omega$ 和常数恢复期 $\tau$ 的 SEIR 模型 $\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=-\beta S(t)I(t)\\ \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\beta S(t)I(t)-\beta S(t-\omega)I(t-\omega)\\ \dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\beta S(t-\omega)I(t-\omega)-\beta S(t-\omega-\tau)I(t-\omega-\tau)\\ \dfrac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}=\beta S(t-\omega-\tau)I(t-\omega-tau) \end{cases}$
• $\tau$：平均感染期. 当病程达到 $\tau$ 时，病人完全康复不再具有感染力，当病程小于 $\tau$ 时，始终具有相同的感染力.

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具有年龄结构的传染病模型

• 例： 具有年龄结构的 MSEIR 模型 $\begin{cases} \dfrac{\partial M}{\partial a}+\dfrac{\partial M}{\partial t}=-(\delta +d(a))M\\ \dfrac{\partial S}{\partial a}+\dfrac{\partial S}{\partial t}=\delta M-d(a)S-\beta(a,t)S\\ \dfrac{\partial E}{\partial a}+\dfrac{\partial E}{\partial t}=\beta(a,t)S-d(a)E-\varepsilon E\\ \dfrac{\partial I}{\partial a}+\dfrac{\partial I}{\partial t}=\varepsilon E-d(a)I-\gamma I\\ \dfrac{\partial R}{\partial a}+\dfrac{\partial R}{\partial t}=\gamma I-d(a)R\\ \end{cases}$
• $a$：年龄；$d(a)$ 年龄为 $a$ 的人群的自然死亡率；$\beta(a,t)$：$t$ 时刻年龄为 $a$ 的易感类成为患病者的比例.

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在多群体中传播的传染病模型

• 例： 疾病在多个染病者群体传播的 S-DI-A 模型，$\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=\mu S^0-\mu S-\sum\limits_{i=1}^n\beta_i I_iS\\ \dfrac{\mathrm{d}I_i}{\mathrm{d}t}=p_i\sum\limits_{j=1}^n\beta_j I_jS+(\mu+v_i)I_i,\;i=1,...,n\\ \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\sum\limits_{j=1}^n v_j I_j-\delta A \end{cases}$
• 染病者由于免疫系统等体内特征和所处环境的差异被分为 $n$ 个群体，分别记为 $I_i$；$\mu S^0$：输入率；$\mu$：自然死亡率；$v_i$：移出率. $p_i$：患病者进入 $I_i$ 的比例，$\sum\limits_{i=1}^np_i=1$；$\delta$：自然死亡率与因病死亡率之和.

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非自治传染病动力学模型

• 例：参数非定常的 SIR 模型 $\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=N(t)B(t,N)-\alpha(t,N)I(t)\\ \dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=N(t)f(t,N)-g(t,N)S(t)-\Phi(t,S,I,N)\\ \dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\Phi(t,S,I,N)-[g(t,N)+\gamma(t,N)+\alpha(t,N)]I(t)\\ \dfrac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}=\gamma(t,N)I(t)-g(t,N)R(t)\\ N(t)=S(t)+I(t)+R(t) \end{cases}$

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具有脉冲的传染病模型

• 例：具有脉冲出生的 SIS 模型 $\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-dN\\ \dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=-dS-\beta SI+\gamma I,\;t\ne k,k=1,2,...\\ \dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\beta SI-\gamma I-d I\\ N(t+0)=\left[1+b-\dfrac{rN(t)}{K}\right]N(t)\\ S(t+0)=S(t)+\left[b-\dfrac{rN(t)}{K}\right]N(t),\;t=k\\ I(t+0)=I(t) \end{cases}$

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具有人口迁移的传染病模型

• 例：种群在两个区域间迁移的 SIS 模型 $\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}S_1}{\mathrm{d}t}=B_1(N_1)N_1-(\mu_1-a_{11})S_1-\beta_1S_1I_1+\gamma_1I_1-a_{22}S_2\\ \dfrac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}=\beta_1 S_1I_1-(\mu_1+\gamma_1-b_{11}) I_1-b_{22}I_2\\ \dfrac{\mathrm{d}S_2}{\mathrm{d}t}=B_2(N_2)N_2-(\mu_2-a_{22})S_2-\beta_2S_2I_2+\gamma_2I_2-a_{11}S_1\\ \dfrac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}t}=\beta_2 S_2I_2-(\mu_2+\gamma_2-b_{22}) I_2-b_{11}I_1 \end{cases}$
• $a_{ii},b_{ii}$：第 $i$ 个区域内的易感者和染病者的迁出率；$a_{ij},b_{ij}$：第 $j$ 个区域内的易感者和感染者嵌入区域 $i$ 的比率.

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小结 - 微分方程模型

• 理论分析：简化求解、线性近似、平衡点分析、轨线相图
• 数值计算：离散化（差分化）、软件工具求解
• 模型的微小差异可能导致解的性态截然不同
  
  • 对于简化或近似后得到的结果需要进行数值验证

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课后思考

（$\star\star\star$）检索阅读一篇使用传染病模型进行研究的论文（注意必须是在正式学术刊物上发表的），简述其建模的主要思路、模型的假设与参数、模型使用的数学表达式的含义，以及论文得到的主要结果. 在文字介绍的基础上，使用计算机仿真，复现论文中的至少 2 个实验结果. 注意：提交作业时，须附上所介绍论文的原文.