第一讲 课程概论

数学建模 讲义 NUDT 2023SP

1.1 课程基本信息

• 课程名称：数学建模
• 学时： 32
• 前序课程：高等数学、线性代数、大学物理
• 教材：吴孟达, 成礼智, 吴翊, 等. 数学建模教程 [M]. 高等教育出版社, 2011

参考书与学习资源

• 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型(第四版)[M]. 高等教育出版社, 2011.
• Giordano F R, 叶其孝, 姜启源. 数学建模[M]. 机 械工业出版社, 2009.
• 《美国大学生数学建模竞赛指导丛书》，已出版 10 册 （http://www.mcmbooks.net）
• 视频公开课:《数学建模—从自然走向理性之路》
  （https://open.163.com/newview/movie/free?pid=NHE4FQV2I&mid=THEEGIROJ）
• 资源共享课:《数学建模与数学实验》
  （http://www.icourses.cn/coursestatic/course_3271.html）

课程内容与要求

• 数学建模概论（是什么？经典案例，一般步骤及其作用）
• 生活中的数学建模（行走步长、雨中行走、有奖销售、招聘的稳定匹配）
• 优化模型（线性规划与非线性规划）
• 图论模型（图的概念，最短路，最小生成树、竞赛图、PageRank）
• 微分方程模型（种群模型、作战模型、传染病模型）
• 随机优化
• 博弈与决策模型（博弈与Nash均衡、群体决策模型）
• 经济学中的数学模型（边际效应、实物交换、最佳消费选择、价格弹性、合作效益分配）
• 仿真模型
• 群体决策模型
• 综合案例

课程考核方式（暂定）

1. 课程大作业（80%）
   
   • 组队完成，每队 2-3 人；
   • 在指定时间内完成一篇建模论文.
   • 课程结束后，全校统一组织.
2. 平时成绩（20%）
   
   • 两次在线测验，客观题为主，独立完成.
   • 课后思考题：选作不少于 4 道，独立完成.
   • 注册加入视频公开课与资源共享课.

作业要求

• 所有作业一律使用 EduCoder 提交.
• 作业为选作，要求一学期上交次数不少于 4 次，否则将酌情扣分.
• 每次下课后作业自动发布，提交截止时间为课后的第二个周日早上 8:00，逾期不接受补交.
• 抄袭、剽窃、雷同作品，取消课程成绩和参加数学建模竞赛资格.
• 欢迎积极参与数学建模创新实践活动.

NUDT 的数学建模活动

1.2 数学建模概论

什么是数学模型

• 中文维基：
  
  • 數學模型是使用數學來將一個系統簡化後予以描述.
  • 數學模型廣泛應用在自然科學（如物理學、化學、生物學、宇宙學）、工程學科（如電腦科學，人工智慧）、以及社會科學（如經濟學、心理學、社會學和政治科學）上.
  • 科學家和工程師用模型來解釋一個系統，研究不同組成部分的影響，以及對行為做出預測.
  • 常見的模型包括動態系統、機率模型、微分方程式或賽局模型等等.
  • 描述不同物件的模型可能有相同的形式，同一個模型也可能包含了不同的抽象結構.

• Wikipedia
  
  • A mathematical model is an abstract description of a concrete system using mathematical concepts and language.
  • The process of developing a mathematical model is termed mathematical modeling.
  • Mathematical models are used in the natural sciences (such as physics, biology, earth science, chemistry) and engineering disciplines (such as computer science, electrical engineering), as well as in non-physical systems such as the social sciences (such as economics, psychology, sociology, political science).
  • The use of mathematical models to solve problems in business or military operations is a large part of the field of operations research.
  • Mathematical models are also used in music,[1] linguistics,[2] and philosophy (for example, intensively in analytic philosophy).

什么是数学模型？

数学模型是对于一个特定的对象，为了一个特定的目标，根据事物的内在规律，作出一些必要的合理假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.

• 数学结构可以是数学公式、算法、表格、图示等. 它体现了数学模型不同于其他模型，是一种用数学语言表达的定量化的抽象模型.
• 数学模型是实际问题与数学实现之间的桥梁，每个工程技术人员都应成为架设这座桥梁的工程师.

例：航行问题

甲乙两地相距 750 公里，船从甲到乙顺水航行需要 30 小时，从乙到甲逆水航行需 50 小时，问船的速度是多少?

• 解：假设船在静水中的速度是固定的，用 $x$ 表示，水速用 $y$ 表示.
• 列出方程组: $\begin{cases}(x+y)\times 30=750 \\ (x-y)\times 50=750\end{cases}$
• 求解得到: $x=20,y=5$.
• 答：船速每小时 20 千米.

例：商人过河问题

• 有三个商人与三个随从一块过河，只有一只小船，每次最多载两人.
• 随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货.
• 但是乘船的方案由商人决定，商人们怎样才能安全过河？

图解法：

• $x$ 表示此岸的商人数，$y$ 表示此岸的随从人数.
• 状态 $s = (x,y)$，对应 16 个格 点.
• 允许的状态 (蓝色): 10 个.
• 允许的决策: 移动 1 步或 2 步.
• 第 $k$ 步，$k$ 奇，左下移; $k$ 偶，右上移.
• 安全渡河方案如箭头所示路线.

数学建模要做什么？

数学建模关注如何将实际问题转化为数学模型，也就是搭建实际问题与数学模型之间的桥梁.

• 量化： 实际问题中概念或“量”的度量和刻画.
• 抽象： 通过建立“量”之间的关系，对问题或系统进行描述，得到数学模型.
• 分析： 使用数学工具、方法对模型进行研究，分析其可能的性质，预测系统的演变或针对特定的目标对系统实施控制与优化.
• 决策： 将定量分析的结果应用于实际.

例：Königsberg 七桥问题

• 普鲁士的 Königsberg （现俄罗斯加里宁格勒，Калининград）有一条普雷格尔（Преголя）河，河上有两座小岛，连接河岸与小岛共有七座桥.
• 人们试图通过每一座桥一次且仅仅一次，然后返回出发地，但没有一人成功.

图论的诞生

• 数学家 Euler 把该问题的实质归于一笔画问题，并给出任意一种“河──桥”图能否全部走一次的判定法则（图中最多包含两个奇顶点.）
• 后来许多数学家都尝试去解析这类事例，而这些解析，最后发展成为了数学中的图论（Graph Theory）.

1.3 数学建模的步骤与特点

建立数学模型与其说是一门技术，不如说是一门艺术. 成功建立一个好的模型，就如同完成一件杰出的艺术品，是一种复杂的创造性劳动.

• 正因为如此，所谓数学建模的的一般步骤只能是一种大致上的规范，或者说是一种作为参考的工作和思考流程.

1. 模型准备：深入了解背景，明确目的要求，收集有关数据.
2. 模型假设：充分消化信息，抓住主要因素，作出恰当假设.
3. 模型建立：正确翻译问题，合理简化模型，选择适当方法.
   
   • 注意模型的完整性与正确性；
   • 既要充分简化，又要保证与实际问题有足够的贴近度.
4. 模型求解：掌握计算方法，应用数学软件，提高编程能力.
5. 模型检验（测试与分析）：结果检验、敏感性分析、稳定性分析、误差分析.

1. 用数学语言表述实际问题

例：上下山问题 某旅游者早上 8:00 从山下旅店出发，沿一条路上山，下午 5:00 到达山顶并留宿. 次日早 8:00 沿同一小路下山，下午 5:00 回到旅店. 能否断言: 该旅游者在这两天的某同一时刻经过小路上的同一地点?

• 将上、下山高度分别表示成时间 $t$ 的函数 $f(t)$，$g(t)$，显然它们都是关于 $t$ 的连续函数，将它们在同一坐标系中绘出，可知它们必有交点.

2. 抽象与泛化

• 例：椅子能否摆放水平？ 在一个不平整的地面上，是否总可以找到某个位置使得一个规则的四脚椅子恰好摆放水平？
• 例：赤道上总有温度相同的两个点？ 证明在任意时刻，赤道上总有两个坐标相对的地点温度恰好相同.

3. 必要而合理的假设

例：伯特兰悖论 （Bertrand paradox） 圆内随机取一条弦，弦长大于圆内接正三角形边长的概率是多少?

如何理解“随机取一条弦”？

• 随机端点：在圆周上随机选定两点，连接得到一 条弦。则所求概率为 1/3.
• 随机半径：随机选择一条半径和半径上的一点， 过该点做垂直该半径的弦。则所求概率为 1/2.
• 随机中点：圆内任取一点，以该点为中点做弦。 则所求概率为 1/4.

4. 努力发挥创造性

例：敏感话题调查问题

• 欲在大学生中调查一个敏感问题，例如 “你谈过恋爱吗?”.
• 采取问卷调查的方式，要求被调查者回答 “是” 或 “不是”.
• 要得到大学生中谈过恋爱的比例，应如何设计问卷和调查方式?

问题分析：

• 如果被调查者都能如实回答，就能很快统计出比例，但因为涉及个人隐私，事实上往往做不到.
• 将谈过恋爱的学生标记为 A 类，其余学生为 B 类.
• 记 $z$ 为 A 类学生比例；$s$ 为 A 类学生如实回答的概率；$t$ 为 B 类学生如实回答的概率.
• 任意一个学生回答 “是” 的概率为 $p=zs+(1-z)(1-t)$.

• 设学生的回答是各自独立的，记 $X$ 为 $n$ 个学生中回答 “是” 的个数，可假设 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$.
• 以下求对 $z$ 的估计 $\hat{z}$.
• 若 $s, t$ 已知，则 $p$ 的无偏估计为 $X/n$。
• 令 $X/n = zs+(1−z)(1−t)$，求得估计量 $\hat{z} = \dfrac{t-1+X/n}{s+t-1}$.
• 显然，$s, t$ 不可能是已知的，因此如此调查无法保证能得到满意的结果.

随机问卷调查法

设计两种问卷：

• A 卷 $a$ 张，问题: 你谈过恋爱吗?
• B 卷 $b$ 张，问题: 你没有谈过恋爱吗?
• 学生随机抽取问题，且题目不给调查者看，抽取者阅后放回，然后根据所抽取的问题回答 “是” 或 “不是”.
• 由于调查者并不知道学生回答的是哪一个问题，因此学生有理由相信自己的隐私不会暴露，进而更有可能给出真实的回答.

假设与参数

• 假设：
  
  • 调查者如实确保有两类卡片——调查者假设.
  • 被调查者会如实回答卡片上的问题——被调查者假设.
• 建模过程中，需要用到的信息包括：
  
  • 观测数据：回答“是”的学生的数量和比例（$p$）.
  • 可控参数：A 类卡片和 B 类卡片的比例.

分析：

• 记 $u = a/(a + b)$，则学生抽到 A、B 卷的概率分别为 $u$ 与 $1 − u$.
• 于是学生回答 “是” 的概率为 $p = zu+(1−z)(1−u)$.
• 记 $X$ 为 $n$ 个学生中回答 “是” 的个数，则 $X\sim B(n, p)$.
• 令 $X/n=zu+(1-z)(1-u)$，进而得到 $\bbox[yellow]{\hat{z}=\dfrac{u-1+X/n}{2u-1}}$.

讨论： $\hat{z}=\dfrac{u-1+X/n}{2u-1}$

• 若令 $u = 1$ 或 $0$，则很容易估计出 $z$，但这样做会使被调查者有一种被愚弄的感觉，从而不会合作.
• 若令 $u = 1/2$，则分母为 $0$，同样什么信息也得不到.
• 一般可取 $u = 1/3$ 或 $u = 1/4$，此时估计的方差 $D(\hat{z})=\dfrac{p(1-p)}{n(2u-1)^2}$ 较小.
• 结论： $u$ 越接近 1 或 0，估计的方差越小，估计越可靠，但被调查者如实回答的几率却越低.

不相干问题调查法

设计两种问卷：

• A 卷问题：你谈过恋爱吗？
• B 卷问题：你的学号尾数是偶数吗？

• 抽取与回答规则同上一调查法.

• 增加假设： 被调查者学号唯一（不难满足）.

• 增加信息： B 卷回答“是”的概率为 1/2.

分析：

• 被调查者回答“是”的概率 $p=zu+(1-u)/2$.
• 于是 $X/n\approx zu+(1-u)/2$，解得 $\hat{z}=\left(\dfrac{X}{n}-\dfrac{1-u}{2}\right)/u$.
• 令 $u=1/2$，$\hat{z}=2(X/n-1/4)$，此时该种调查方法更容易取得被调查者的信任.
• 进一步，若 $u>1/3$，则 $D(\hat{z})=\dfrac{p(1-p)}{nu^2}\leq \dfrac{p(1-p)}{n(2u-1)^2}$，这说明相对于前一种调查法，不相干问题调查法的精确度会更高一些.

何谓创新？

• 针对的是新的研究对象.
• 开发了新的工具.
• 拓展了老工具的应用范围.
• 使用了新的研究素材等.

课后思考

1. ($\star\star$) 结合你了解的某个案例，谈谈对“数学模型”和“数学建模”的理解.（不少于 300 字）
2. ($\star\star\star$) 某一微信群中进行发红包游戏. 采用“拼手气红包”，每次红包总金额固定，个数等于总人数，发红包的人也参与抢红包，每次所有红包都会被领取. 随机选取第一个发红包的人，之后由每次“手气最佳”的人接着发. 最终每个人发出的和领到的红包金额是否相等?