第二十五讲 正态总体的假设检验

概率论与数理统计 讲义 NUDT 2023SP

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25.1 假设检验问题的进一步讨论

回顾：设总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，其中 $\sigma^2$ 已知，检验假设

$$H_0:\mu=\mu_0,\quad H_1:\mu\ne\mu_0.$$

• 拒绝域：$\bbox[yellow]{W_1=\left\{(x_1,x_2,...,x_n)\bigg||\overline{x}-\mu_0|>u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\}.}$
• $H_0$ 成立时，检验统计量 $\bbox[yellow]{U=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1).}$

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进一步的讨论

设总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，其中 $\sigma^2$ 已知，检验假设

$$H_0:\mu=\mu_0,\quad \bbox[lightgreen]{H'_1:\mu<\mu_0.}$$

• 拒绝域：$\bbox[lightgreen]{W'_1=\left\{(x_1,x_2,...,x_n)\bigg|\;\overline{x}-\mu_0<u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\}.}$
• $H_0$ 成立时，检验统计量 $\bbox[yellow]{U=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1).}$

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再进一步

设总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，其中 $\sigma^2$ 已知，检验假设

$$\bbox[lightblue]{H'_0:\mu\geq\mu_0,}\quad \bbox[lightgreen]{H'_1:\mu<\mu_0.}$$

• 拒绝域：$\bbox[lightgreen]{W'_1=\left\{(x_1,x_2,...,x_n)\bigg|\;\overline{x}-\mu_0<u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\}.}$
• $H_0$ 成立时，检验统计量 $\require{enclose}\bbox[yellow]{U=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim \enclose{horizontalstrike}{N(0,1).}}$

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讨论

1. 对于同样的备择假设（$H'_1:\mu<\mu_0$），无论原假设是什么（$H_0:\mu=\mu_0$，$H'_0:\mu\geq\mu_0$），都有相同的拒绝域.

2. 当原假设不是简单假设时，使用的检验统计量与简单假设时相同.

   • 使用简单假设时 $U=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1).$

   • 使用非简单假设时 $\require{enclose}U\sim \enclose{horizontalstrike}{N(0,1).}$

   • 对于任意的假设检验问题，总可以把原假设视为简单假设来处理.

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为什么使用相同的检验统计量？

$${H'_0:\mu\geq\mu_0,}\quad {H'_1:\mu<\mu_0.}$$

• 由 $\mu\geq\mu_0$ 可得 $U=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\geq U'=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
• 进而可得对任意 $C$，总有 $P\{U<C\}\leq P\{U'<C\}$.
• 因为 $U'\sim N(0,1)$，故取 $C=u_{\alpha}$ 即可满足 $P\{U'<C\}\leq\alpha$.
• 进而 $P\{U<u_{\alpha}\}\leq P\{U'<u_{\alpha}\}\leq \alpha$.

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待讨论的问题

• 单正态总体
  
  • 均值检验
  • 方差检验
• 双正态总体
  
  • 均值差检验
  • 方差比检验
• 非正态总体在大样本下的检验

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25.2 单正态总体均值的检验

情形一： 总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$\mu,\sigma^2$ 均未知，检验假设

$$H_0:\;\mu=\mu_0;\quad H_1:\; \mu\ne\mu_0.$$

• 检验统计量：$T=\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu_{0}}{S / \sqrt{n}}$.
• 拒绝域：$W_1=\left\{(x_1,x_2,...,x_n)\bigg||t|>t_{1-\alpha / 2}(n-1)\right\}$.

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情形二： 总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$\mu,\sigma^2$ 均未知，检验假设

$$H_0:\;\mu\leq\mu_0;\quad H_1:\; \mu>\mu_0.$$

• 检验统计量：$T=\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu_{0}}{S / \sqrt{n}}$.
• 拒绝域：$W_1=\left\{(x_1,x_2,...,x_n)\bigg|t>t_{1-\alpha}(n-1)\right\}.$

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单正态总体均值的检验

$$\begin{array}{c|c|c} \hline H_0 \quad\text{vs}\quad H_1 & \sigma^2\text{已知} & \sigma^2\text{未知}\\[1em] \hline \text{检验统计量及其分布}& \displaystyle U=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) & \displaystyle T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\\[1em] \hline \mu=\mu_0,\quad \mu\ne\mu_0 & |u|>u_{1-\frac{\alpha}{2}} & |t|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\\[1em] \hline \mu\leq\mu_0,\quad \mu>\mu_0 & u>u_{1-\alpha} & t>t_{1-\alpha}(n-1)\\[1em] \hline \mu\geq\mu_0,\quad \mu<\mu_0 & u<u_{\alpha} & t<t_{\alpha}(n-1)\\ \hline \end{array}$$

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例：污水处理的达标检验

某地环保部门规定，废水处理后其中某有毒物质的平均浓度不得超过 $10$ mg/l. 现从某废水处理厂随机抽取了 $15$ 份样本，测得样本均值 $\overline{x}=9.5$ mg/l ，样本标准差 $s=2.5$ mg/l . 假设废水处理后有毒物质的浓度服从正态分布. 试在显著性水平 $0.05$ 下，分析该厂处理后的水是否达标？

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解：

• 由已知，废水处理后有毒物质的浓度 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$.
• 检验假设: $H_0:\;\mu\geq10,\quad H_1:\; \mu<10.$
• 检验统计量：$T=\displaystyle \frac{\overline{X}-10}{S / \sqrt{15}}$.
• 拒绝域为：$W_1=\left\{(x_1,x_2,...,x_n)\bigg|t=\displaystyle \frac{\overline{x}-10}{s / \sqrt{15}}<t_{0.05}(14)=-1.761\right\}$.
• 查表计算得到 $t=\displaystyle \frac{9.5-10}{2.5 / \sqrt{15}}=-0.7483>-1.7613$.
• 接受原假设，认为该废水处理厂处理的废水没有达标.

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25.3 单正态总体方差的检验

$$\begin{array}{c|c|c} \hline H_0 \quad\text{vs}\quad H_1 & \mu\text{已知} & \mu\text{未知}\\[1em] \hline \text{检验统计量及其分布}& \displaystyle \chi^2=\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma_0}\right)^2\sim\chi^2(n) & \displaystyle \chi^2=\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma_0}\right)^2\sim\chi^2(n-1)\\[1em] \hline \sigma^2=\sigma^2_0,\quad \sigma^2\ne\sigma^2_0 & \chi^2<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n)\text{或}\chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n) & \chi^2<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\text{或}\chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\\[1em] \hline \sigma^2\leq\sigma^2_0,\quad \sigma^2>\sigma^2_0 & \chi^2>\chi^2_{1-\alpha}(n) & \chi^2>\chi^2_{1-\alpha}(n-1)\\[1em] \hline \sigma^2\geq\sigma^2_0,\quad \sigma^2<\sigma^2_0 & \chi^2<\chi^2_{\alpha}(n) & \chi^2<\chi^2_{\alpha}(n-1)\\ \hline \end{array}$$

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例：设备状态的检验

某切割机若正常工作，切割出的金属棒平均长度为 $10$ cm, 标准差不超过 $0.25$ cm. 现从一批产品中抽取 $15$ 段，测量得到数据如下:

$$9.9, 10.1, 9.8, 9.9, 10, 9.8, 9.8, 9.9,$$

$$10.1, 10.1, 10, 10, 9.9, 10, 10.1$$

假设金属棒的长度 $X$ 服从正态分布. 在显著性水平 $\alpha=0.01$ 下，问该切割机是否工作正常？

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解：

• 记切割的金属棒的长度 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，以下分别对 $\sigma^2$ 和 $\mu$ 进行检验.
• (1) 检验假设： ${H}_{0}:\; \sigma \geq {0 . 2 5}, \quad {H}_{1}:\; \sigma<{0 . 2 5}.$
• 检验统计量： $\chi^{2}=14 S^{2} / (0.25)^{2}$.
• 拒绝域：$W_1=\left\{(x_1,...,x_{15})\bigg|\dfrac{14 s^{2}}{(0.25)^{2}}<\chi_{0.01}^{2}(14)\right\}$.
• 计算得到：$\displaystyle \frac{14 s^{2}}{(0.25)^{2}}=\frac{14 \times 0.0117333}{0.0625}=2.816<\chi_{0.01}^{2}(14)=4.660$.
• 拒绝原假设，即认为金属棒的加工精度达到了要求.

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• (2) 检验假设：$H_0:\;\mu=10,\quad H_1:\;\mu\ne10$.
• 检验统计量：$T=\displaystyle \frac{\overline{X}-10}{S / \sqrt{15}}$.
• 拒绝域：$W_1=\left\{(x_1,...,x_{15})\bigg||t|=\displaystyle \frac{\left|\overline{x}-10\right|}{s / \sqrt{15}}>t_{0.995}(14)\right\}$.
• 计算得到：$|t|=1.382 < t_{0.995}(14)=2.9763$.
• 接受原假设，即认为切割的金属棒长度的平均长度是 $10$ cm.
• `综上，金属棒的长度均值和方差都符合要求，故认为切割机工作正常.``

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25.4 双正态总体均值差的假设检验

设 $X_1, X_2, ..., X_n$ 是来自总体 $N(\mu_1,\sigma^2)$ 的简单随机样本, $Y_1, Y_2, ..., Y_m$ 是来自总体 $N(\mu_2,\sigma^2)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu_1,\mu_2,\sigma^2$ 均未知，在显著水平 $\alpha$ 下，检验假设

$$H_0:\;\mu_1=\mu_2,\quad H_1:\;\mu_1\ne\mu_2.$$

• 检验统计量 $T=\displaystyle\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_{\omega} \sqrt{1 / n+1 / m}}\sim t(n+m-2)$
  
  • $S_{\omega}^{2}=\displaystyle \frac{(n-1) S_{1}^{2}+(m-1) S_{2}^{2}}{m+n-2}$

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双正态总体均值差的检验

$$\begin{array}{c|c|c} \hline %\text{假设} && \text{拒绝域}&\\ %\hline H_0\quad\text{vs}\quad H_1 & \sigma_1^2,\sigma_2^2\text{已知} & \sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\text{但未知}\\[1em] \hline %\text{检验统计量} &\text{及其分布} \text{检验统计量及其分布} & U=\displaystyle \frac{(\overline{X}-\overline{Y})-\delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+\frac{\sigma_2^2}{n}}}\sim N(0,1) & T=\displaystyle \frac{(\overline{X}-\overline{Y})-\delta}{S_{\omega}\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\sim t(m+n-2)\\[1em] \hline \mu_1-\mu_2=\delta,\quad \mu_1-\mu_2\ne\delta & |u|>u_{1-\frac{\alpha}{2}} & |t|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(m+n-2)\\[1em] \hline \mu_1-\mu_2\le\delta,\quad \mu_1-\mu_2>\delta & u>u_{1-\alpha} & t>t_{1-\alpha}(m+n-2)\\[1em] \hline \mu_1-\mu_2\ge\delta,\quad \mu_1-\mu_2<\delta & u<u_{\alpha} & t<t_{\alpha}(m+n-2)\\[1em] \hline \end{array}$$

其中 $\delta=\mu_1-\mu_2,S^2_{\omega}=\displaystyle\frac{1}{m+n-2}\left[\sum\limits_{i=1}^m(X_i-\overline{X})^2+\sum\limits_{j=1}^n(Y_j-\overline{Y})^2\right]$.

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例：湖人和马刺谁更强？

右表是马刺队和湖人队历年常规赛成绩，问马刺队的胜率是否明显高于湖人队？($\alpha=0.05$)

$$\begin{array}{c|cc|cc} \hline &\text{马刺队}&&\text{湖人队}&\\ \hline \text{赛季}&\text{胜场}&\text{负场}&\text{胜场}&\text{负场}\\ \hline 2014-2015 & 55 & 27 & 21 & 61\\ 2013-2014 & 62 & 20 & 27 & 55\\ 2012-2013 & 58 & 24 & 45 & 37\\ 2011-2012 & 50 & 16 & 41 & 25\\ 2010-2011 & 61 & 21 & 57 & 25\\ 2009-2010 & 50 & 32 & 57 & 25\\ 2008-2009 & 54 & 28 & 65 & 17\\ 2007-2008 & 56 & 26 & 57 & 25\\ 2006-2007 & 58 & 24 & 42 & 40\\ 2005-2006 & 63 & 19 & 45 & 37\\ 2004-2005 & 59 & 23 & 34 & 48\\ 2003-2004 & 57 & 25 & 56 & 26\\ 2002-2003 & 60 & 22 & 50 & 32\\ 2001-2002 & 58 & 24 & 58 & 24\\ 2000-2001 & 58 & 24 & 56 & 26\\ 1999-2000 & 53 & 29 & 67 & 15\\ 1998-1999 & 53 & 29 & 67 & 15\\ \hline \end{array}$$

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分析

• 设马刺、湖人两队的常规赛胜率分别为 $X,Y$, 设 $X\sim N(\mu_1,\sigma^2),\;Y\sim N(\mu_2,\sigma^2)$.
• 检验假设 $H_0:\;\mu_1\leq\mu_2,\quad H_1:\mu_1>\mu_2$.
• 计算得到
  
  • $\overline{x}=0.700813008$, $\overline{y}=0.599186992$, $s_{1}^{2}=0.001682861$, $s_{2}^{2}=0.025041972$.
  • $s_{\omega}^{2}=\displaystyle \frac{(n-1)s_{1}^{2}+ (m-1)s_{2}^{2}}{n+m-2}=0.014316875$.
  • $t=\displaystyle \frac{\overline{x}-\overline{y}}{s_{\omega} \sqrt{1 / n+1 / m}}=2.326>t_{0.95}(28)=1.7011$.
• 拒绝原假设，即认为马刺队的常规赛胜率明显高于湖人队.

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讨论：如何正确地应用假设检验？

以上解答过程中存在的问题

1. 二者胜率的方差相等吗？
   
   • 未知!
2. 二者胜率服从正态分布吗？
   
   • 未知!
3. 二者的胜率相互独立吗？
   
   • 未知!

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25.5 双正态总体方差之比的假设检验

设 $X_1, X_2, ..., X_m$ 是来自总体 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 的简单随机样本, $Y_1, Y_2, ..., Y_n$ 是来自总体 $Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu_1,\mu_2,$ $\sigma_1^2,\sigma_2^2$ 均未知，在显著水平 $\alpha$ 下，检验假设

$$H_0:\;\sigma_1^2=\sigma_2^2,\quad H_0:\;\sigma_1^2\ne\sigma_2^2.$$

• 检验统计量 $F=\displaystyle \frac{{S}_{1}^{2}}{{S}_{2}^{2}}\sim F(m-1,n-1)$
• 拒绝域 $F < F_{\frac{\alpha}{2}}(m-1,n-1)$ 或 $F>F_{1-\frac{\alpha}{2}}(m-1,n-1)$

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回到前面的例子，比较两队胜率的稳定性.

• 记马刺队和湖人队的常规赛胜率分别为 $X,Y$，并作如下假设： $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\;Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，且 $X,Y$ 相互独立.
• 检验假设：$H_0:\;\sigma_1^2\geq\sigma_2^2,\quad H_1:\sigma_1^2<\sigma_2^2$.
• 计算得到 $s_{1}^{2}=0.001682861, \quad s_{2}^{2}=0.025041972$.
  
  • $F=\displaystyle \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}=0.0672<F_{0.05}(14,14)\approx 0.4032$.
• 拒绝原假设，即认为马刺队的常规赛胜率更稳定.

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双正态总体方差比的检验

$$\boxed{\begin{array}{c|c|c} H_0\quad\text{vs}\quad H_1 & \mu_1,\mu_2\text{已知} & \mu_1,\mu_2\text{均未知}\\[1em] \hline \text{检验统计量及其分布} & \displaystyle F=\frac{\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m(X_i-\mu_1)^2}{\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^n(Y_j-\mu_2)^2}\sim F(m,n) & \displaystyle F=\frac{\frac{1}{m-1}\sum\limits_{i=1}^m(X_i-\overline{X})^2}{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{j=1}^n(Y_j-\overline{Y})^2}\sim F(m-1,n-1)\\[1em] \hline \sigma_1^2=\sigma_2^2,\quad \sigma_1^2\ne\sigma_2^2 & F<F_{\frac{\alpha}{2}}(m,n)\text{或}F>F_{1-\frac{\alpha}{2}}(m,n) & F<F_{\frac{\alpha}{2}}(m-1,n-1)\text{或}F>F_{1-\frac{\alpha}{2}}(m-1,n-1)\\[1em] \hline \sigma_1^2\leq\sigma_2^2,\quad \sigma_1^2>\sigma_2^2 & F>F_{1-\alpha}(m,n) & F>F_{1-\alpha}(m-1,n-1)\\[1em] \hline \sigma_1^2\geq\sigma_2^2,\quad \sigma_1^2<\sigma_2^2 & F<F_{\alpha}(m,n) & F<F_{\alpha}(m-1,n-1) \end{array}}$$

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25.6 非正态总体大样本参数检验

• 在正态总体参数检验中，由于检验统计量都有精确分布，因而对样本大小没有过多限制.
• 对于非正态总体，往往难以找到具有精确分布的检验统计量.
• 当样本容量 $n$ 较大时，一般使用检验统计量的渐近分布代替它的精确分布，从而得到近似的拒绝域.
• 中心极限定理: $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 独立同分布，总体的期望和方差分别为 $\mu,\sigma^2$，则当 $n$ 较大时， $\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 近似服从 $N(0,1)$.

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例：早稻产量的预测

某县早稻收割面积为 100 万亩，现随机抽取 150 亩，得到平均亩产量 $\overline{x}=320$ kg，样本的标准差 $s=100$ kg，问在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，能否预计这 100 万亩早稻的平均亩产量为 340 kg?

• 分析：设 $X$ 表示早稻的亩产量. 检验假设：${H}_{0}: E(X)=340, \quad {H}_{1} : E(X) \neq 340$.
• 由于 $n=150$ 较大, 若 $H_0$ 成立，则近似地有 $\sqrt{n} \displaystyle \frac{\overline{X}-340}{S} \sim N(0 , 1)$.
• 检验的拒绝域为 $\sqrt{150} \displaystyle \frac{|\bar{x}-340|}{s}>u_{1-\alpha / 2}$.

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例：细纱强度的比较

在两种工艺条件下纺出一批细纱，现随机地各抽取 $100$ 个样品测试其能承受的最大拉力（单位：N）. 经计算得到在这两种工艺条件下样本均值和样本标准差为

• 甲工艺：$\overline{x}=2.80, {s}_1=0.280$
• 乙工艺：$\overline{y}=2.86, {s}_2=0.285$

问在 $\alpha=0.05$ 下，两种工艺条件纺出的细纱的平均强度有无显著差异？

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解: 设 $X,Y$ 分别表示甲、乙两种工艺条件纺出的细纱总体. 检验假设

$$H_0:E(X)=E(Y),\quad H_1:E(X)\ne E(Y)$$

取统计量 $U=\displaystyle \frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{m}+\frac{S_{2}^{2}}{n}}}$. 当 $H_0$ 成立时，$U$ 的渐近分布为 $N(0,1)$. 在显著性水平 $\alpha$ 下，拒绝域为 $u>u_{1-\alpha / 2}$.

根据观测值进行计算得到 $u=1.5018<1.96=u_{0.975}$. 因而不能拒绝 $H_0$，即认为在这两种工艺条件下纺出的细纱的平均强度无显著差异.

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小结

• 假设检验的关键点
  
  • 正确提出待检验的假设
  • 熟练应用各种抽样分布
• 熟练地推导各种检验问题的拒绝域

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The scientist only imposes two things, namely truth and sincerity, imposes them upon himself and upon other scientists.
--Erwin Schrödinger