第六讲 微分方程模型 —— Lanchester 作战模型

数学建模 讲义 NUDT 2023SP

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6.1 Lanchester 作战模型

• F. W. Lanchester（1868-1946）was an English polymath and engineer who made important contributions to automotive engineering and to aerodynamics, and co-invented the topic of operations research (运筹学).
• 1914 年，创立了可宏观描述双方战斗的毁伤过程的数学模型.
• 提出 Lanchester线性率（主要为模拟古代作战）和 Lanchester 平方率（主要用于模拟近代作战，尤其以远程武器较为准确）.

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战役结局的预测

• Lanchester 作战模型最初的目的是用于预测战役的结局.
• 假设：只考虑双方兵力多少和战斗力强弱.
  
  • 兵力：因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加.
  • 战斗力：与射击频率（单位时间的射击次数）、射击命中率以及战争的类型（正规战、游击战）等有关.
  • 一方兵力为零或达到某个下限时（丧失了作战能力）则意味着在战争中失败了.

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应用范围

• 假设：不考虑政治、经济、社会等因素对交战双方的影响.
• 在实际的战争中，仅靠兵力的优劣往往不足以决定战争的胜负.
• 一般认为，用 Lanchester 模型判断整个战争的结局是不可行的，但对于局部的战役或冲突而言则有一定的参考价值.

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一般战争模型

$$\bbox[yellow]{\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = -f(x,y)-\alpha x+u(t), & \alpha>0 \\ \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}= -g(x,y)-\beta y+v(t), & \beta>0 \\ \end{array}\right.}$$

• $x(t)$、$y(t)$：交战双方在 $t$ 时刻的 兵力（一般就表示为双方的士兵人数）.
• $f(x,y)$、$g(x,y)$：双方的 战斗减员率.
• $-\alpha x(t)$、$-\beta y(t)$：双方的 非战斗减员率（由疾病、逃跑等引起）.
• $u(t)$、$v(t)$：双方的 增援速度.

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6.2 正规战争模型

• 假设：双方都用正规部队作战.
  
  • 双方士兵正面对抗，均处于对方的视野和杀伤范围之内.
  • 一方的战斗减员率只与对方兵力有关.
• 战斗减员率（简单模型）
  
  • 甲方：$\bbox[yellow]{f(x,y)=ay}$
  • 乙方：$\bbox[yellow]{g(x,y)=bx}$

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正规战争中的战斗减员率

$${f(x,y)=ay}$$

• $a$ 表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数），称为乙方的 战斗有效系数.
• 进一步分解有 $\bbox[yellow]{a=r_y p_y}$，其中：
  
  • $r_y$ 为乙方的 射击频率.
  • $p_y$为乙方的 命中率.

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正规战争模型 (Regular Combat Model)

$$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \bbox[lightgreen]{-ay}-\alpha x+u(t) \\ \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \bbox[lightgreen]{-bx}-\beta y+v(t) \end{array} \right.$$

• 在大规模冲突中，非战斗减员相对与战斗减员一般数值很小，所以常常可以忽略不计.
• 很多情况下，为了简化讨论，假设双方都没有增援.

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简化的正规战争模型

$$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = -ay \\ \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = -bx\\ x(0)=x_0\\ y(0)=y_0 \end{array} \right.$$

• $x_0$、$y_0$：双方的初始兵力.
• 由方程组不难看出，战争开始后，双方的兵力都是单调递减的.

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模型的定性分析

$$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = -ay \\ \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = -bx\\ x(0)=x_0\\ y(0)=y_0 \end{array} \right.\quad \Rightarrow \quad {\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\dfrac{bx}{ay}}$$

• 解得 $\bbox[yellow]{ay^2-bx^2=k}$，其中 $k=ay_0^2-bx_0^2$ 由初始条件决定.

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正规战争模型的相图

• 正规战争模型的轨线是双曲线族.
• 箭头表示随时间 $t$ 的增加，$x(t)$、$y(t)$ 的变化趋势.
• 不难看出，$k$ 值对最终的结果具有决定性影响.
  
  • 例：如果 $k>0$，轨线将与 $y$ 轴相交，意味着甲方兵力归零，乙方获胜.

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获胜条件

• 乙方获胜的条件：$\bbox[yellow]{\left(\dfrac{y_0}{x_0}\right)^2 >\dfrac{b}{a}=\dfrac{r_x p_x}{r_y p_y}}$.
  
  • 说明双方初始兵力之比 $y_0/x_0$ 以平方关系影响着战争的结局.
• 假设乙方兵力增加到原来的 2 倍，如果甲方条件都不变，则影响战争结局的能力增加到 4 倍.
• 或者，甲方如果无兵可加，需要将战斗力增加到原来的 4 倍才能抵消乙方增兵的影响. 因此，正规战争模型也称为 平方律模型（Square Law Model）.

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6.3 游击战争模型

• 假设：双方都用游击部队作战.
  
  • 甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为 $S_x$ 的隐蔽区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火，而是向这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况.
  • 在一个有限区域内，士兵越多，被杀伤的概率就越高.
• 这时甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关，而且随着甲方兵力的增加而增加.

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战斗减员率

$$\bbox[lightgreen]{f(x,y)=cxy}$$

• 乙方 战斗有效系数 $c$ 可表为 $c=r_y p_y=r_y\frac{S_{ry}}{S_x}$
  
  • $r_y$：乙方射击率.
  • 命中率 $p_y$ 等于乙方一次射击的有效面积 $S_{ry}$ 与甲方士兵的 隐蔽区域面积 $S_x$之比.

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简化模型

仍然忽略非战斗减员与增援，则模型可写为

$$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \bbox[lightgreen]{-cxy}\\ \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \bbox[lightgreen]{-dxy}\\ x(0)=x_0\\ y(0)=y_0 \end{array}\right.$$

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模型分析

方程的解为

$$\bbox[yellow]{cy-dx=m}.$$

• 其中 $m=cy_0-dx_0$ 由初始兵力决定.
• 游击战争模型的轨线是直线族.

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获胜条件

• 乙方的获胜条件：$\bbox[lightgreen]{\frac{y_0}{x_0}>\frac{d}{c}=\frac{r_x S_{rx} S_x}{r_y S_{ry} S_y}}$
• 即初始兵力之比 $y_0/x_0$ 以线性关系影响战争结局.
• 当射击频率和射击有效面积一定时，增加活动面积 $S_y$ 与增加初始兵力 $y_0$ 起着同样的作用.
• 因此，游击战争模型又称 线性律模型 (Linear Law Model).

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6.4 混合战争模型

• 假设：甲方为游击部队，乙方为正规部队.
• 参考对正规战争和游击战争模型的分析和假设，双方的战斗减员率分别为
  
  • 甲方：$\bbox[lightblue]{f(x,y)=cxy}$
  • 乙方：$\bbox[lightblue]{g(x,y)=bx}$

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模型与分析

忽略非战斗减员与增援的假设，则模型为

$$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = -cxy \\ \displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = -bx \\ x(0) = x_0, \; \ y(0)=y_0 \\ \end{array}\right.$$

• 轨线 $cy^2-2bx=n$ （$n=cy_0^2-2bx_0$） 是抛物线族.
• 混合战争模型又称为 抛物线律模型（Parabolic Law Model）.

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正规军的获胜条件

• 有模型可知 $n>0$ 时乙方胜.
• 乙方（正规军）的获胜条件：$\bbox[lightblue]{\left(\frac{y_0}{x_0}\right)^2>\frac{2b}{cx_0}}$
• 以 $b=r_x p_x$，$c=r_y \frac{S_{ry}}{S_x}$ 代入得 ${\left(\frac{y_0}{x_0}\right)}^2>\frac{2r_x p_x S_x}{r_y S_{ry} x_0}$

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数据模拟

• 假定以正规军（乙方）火力较强，以游击队（甲方）虽火力较弱，但活动范围较大.
• 假设甲方兵力 $x_0=100$，命中率 $p_x=0.1$，甲方火力 $r_x$ 是乙方火力 $r_y$ 的一半，活动区域面积 $S_x=0.1$ 平方千米，乙方每次射击的有效面积 $S_{ry}=1$ 平方米.
• 此时乙方取胜的条件为 ${\left(\frac{y_0}{x_0}\right)}^2>\frac{2\cdot 0.1 \cdot 0.1\times 10^6}{2\cdot 1\cdot 100}=100$，即 $y_0/x_0>10$，即乙方必须有 10 倍于甲方的兵力.

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越南战争的教训

• 根据混合战争模型，结合四五十年代发生在马来西亚、菲律宾、印尼、老挝等地的混合战争的实际情况进行估计，得出如下结论：
  
  • 越南战争中，正规部队一方（美军）要想取胜必须至少投入 8 倍于游击部队一方（越南）的兵力，而当时前者最多只能派出 6 倍于后者的兵力.
• 因此，越南战争的结局在一定程度上是注定的.

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硫磺岛战役

• 时间：1945 年 2 月 19 日 - 3 月 26 日
• 地点：日本硫磺岛
• 参战兵力：美军 70,000，日军 22,000
• 伤亡情况：
  
  • 美军 6,821 阵亡，26,000 受伤
  • 日军 21,800 阵亡，200 被俘虏

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作战模型

• 设 $A(t),\;J(t)$ 分别表示美军和日军在第 $t$ 天时的兵力.
• 使用正规作战模型，忽略非战斗减员，且日军没有增援.
• $\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=-aJ(t)+u(t)\\ \dfrac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}t}=-bA(t)\\ A(0)=0\\ J(0)=21500 \end{cases}$，其中 $u(t)=\begin{cases} 54000, & 0\leq t<1\\ 6000, & 2\leq t <3\\ 13000, & 5\leq t <6\\ 0, & t\geq 6 \end{cases}$
• 参数的估计是应用以上模型的关键.

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参数的估计

• 目的：寻找合适的 $a,b$ 使得模型计算你的结果与战地记录数据尽可能接近.
• 微分方程模型离散化 $\begin{cases} A(t)=A(0)-a\sum\limits_{i=1}^tJ(i)+\sum\limits_{i=1}^tu(i)\\ J(t)=J(0)-b\sum\limits_{i=1}^tA(i). \end{cases}$
• 已知：$J(36)=0$，$\sum\limits_{i=1}^{36}A(i)=2037000$.
• $b=\dfrac{J(0)-J(36)}{\sum\limits_{i=1}^tA(i)}=0.0106$，$a=\dfrac{A(0)+\sum\limits_{i=1}^{36}u(t)-A(36)}{\sum\limits_{i=1}^{36}J(i)}=0.0544$.

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离散化的微分方程模型

$$\begin{cases} A(t)=-0.0544\sum\limits_{i=1}^tJ(i)+\sum\limits_{i=1}^tu(i)\\ J(t)=21500-0.0106\sum\limits_{i=1}^tA(i)\\ A(0)=0,\;J(0)=21500 \end{cases}$$

• 求解后得到递推关系式
  
  • $\begin{cases} A(t)=\left(ab\sum\limits_{i=1}^{t-1}A(i)+\sum\limits_{i=1}^tu(i)-a\sum\limits_{i=1}^{t-1}J(i)-21500a\right)/(1-ab)\\ J(t)=\left(21500-b\sum\limits_{i=1}^{t-1}A(i)+ab\sum\limits_{i=1}^{t-1}J(i)-b\sum\limits_{i=1}^{t}u(i)\right)/(1-ab) \end{cases}$
  • $t=1,2,...,36.$

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战争复盘

J．H．Engel 用二次大战末期美日硫磺岛战役中的美军战地记录，对正规战争模型进行了验证，发现模型结果与实际数据吻合得很好.

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6.5 军备竞赛模型

• 军备竞赛 （Arms Race）：两个国家或者两个国家集团之间由于相互不信任和各种矛盾存在、发展而不断增加自己的军事力量，防御对方可能发动的战争.
• 以下介绍的模型由 L. F. Richardson 于 1939 提出.

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模型假设

• 以 军备 表示军事力量的总和，如兵力、装备、军事预算等.
• 每一方军备的增加都取决于下列三个因素：
  
  1. 对方军备的大小：由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加得越快；
  2. 自己军备的大小：由于经济的限制，军备越大，就增加得越慢；
  3. 双方固有的敌视程度：即使一方没有军备，由于存在敌视，另一方也会增加军备.

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• 设甲、乙双方的军备分别记为 $x(t)$，$y(t)$，根据上述三个假设可以作出进一步的简化假设：
  
  • $x(t)$ 的增加率与 $y(t)$ 成正比；
  • $x(t)$ 的减少率与 $x(t)$ 成正比；
  • 由于固有敌视程度导致的 $x(t)$ 的增加率设为常数.
• 军备竞赛模型： $\bbox[orange]{\left\{\begin{array}{l} \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = -\alpha x+ky+g \\ \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = -\beta y+lx+h \end{array}\right.}$
  
  • 其中：$k$, $l$是 对方军备刺激程度；$\alpha$, $\beta$是 己方经济实力制约程度；$g$, $h$是 己方军备竞赛的固有潜力.

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模型分析

$${\left\{\begin{array}{l} \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = -\alpha x+ky+g \\ \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = -\beta y+lx+h \end{array}\right.}$$

• 如果我们感兴趣的是军备竞赛的结局由什么因素决定，而不关心竞赛的过程，则可以使用微分方程的定性理论讨论其平衡点性质.
• 线性常系数微分方程组 $\dot{\boldsymbol{X}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}+\boldsymbol{R}$ 的平衡点是稳定的，当且仅当 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征根都具有负实部.

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平衡点

• 令方程的右端等于 0，解得：$x_0=\frac{kh+\beta g}{\alpha\beta-kl},\;y_0=\frac{lg+\alpha h}{\alpha\beta-kl}$
• 当 $\alpha\beta-kl\neq0$ 时，特征根 $\lambda=\dfrac{-(\alpha+\beta)\pm{[{(\alpha-\beta)}^2+4kl]}^{1/2}}{2}$
• 当且仅当 $\alpha\beta-kl>0$ 时，$(x_0,y_0)$ 是稳定的，反之，是不稳定的.
• 即当 $\bbox[yellow]{\alpha\beta>kl}$ 时，时间足够长以后双方的军备将分别趋向一个有限值，军备竞赛是稳定的.

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模型的解释

• 条件 $\alpha\beta>kl$ 表明，当双方的经济制约程度 $\alpha\beta$ 大于双方的军备刺激程度 $kl$ 时，军备竞赛才会趋向稳定. 否则，只要经济条件允许，竞赛将无限制地进行下去，最终引发战争.
• 相互和解，双方裁军可以达到持久和平.
  
  • 如果 $g=h=0$，则 $x_0=0$, $y_0=0$ 是方程的平衡点，并且在条件 $\alpha\beta>kl$ 下是稳定的.
  • 也即如果某个时刻 $x(t),y(t)$ 为零，就将永远保持为零. 即，只要双方不存在任何敌视和争端，则通过裁军可以达到持久和平.

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• 未消除敌视或领土争端的双方裁军是不会持久的.
  
  • $g,h\neq 0$，即使某个时刻 $x(t),y(t)$ 为零，由于这时 $\dot{x}=g$, $\dot{y}=h$, $x(t)$, $y(t)$ 仍将增加.
• 单方面裁军不会持久.
  
  • 如果在某个时刻 $x(t)=0$，但由于 $\dot{x}=ky+g$，$x(t)$ 也不会保持为零.
  • 这说明存在不信任 ($k\neq 0$) 或固有争端 ($g\neq 0$)的单方面裁军不会持久.

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模型参数的估计

• 为了利用 $\alpha\beta>kl$ 判断平衡点的稳定性，关键是要估计 $\alpha,\beta,k,l$ 的值，以下是 Richardson 提出的估计方法.
• $k$, $l$ 的估计
  
  • 设 $x(0)=0$，当 $t$ 较小时，忽略 $g$ 和 $-\alpha x$ 的作用并近似的假定 $y=y_1$ 不变（乙方军备为常数），则 $\dot{x}=ky_1$，如果当 $t=\tau$ 时 $x=y_1$，则 $\tau = \frac{1}{k}$
  • 这说明当不存在敌视时，$k^{-1}$ 是甲方军备从零赶上乙方军备 $y_1$ 所需要的时间.

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一战后德国的扩军备战

• 一战结束后，根据凡尔赛条约，战败国德国的军队减到了十几万人，而在二战前夕的 1933～1936 年，德国重整军备用三年时间赶上了它的邻国.
• 假设减缓效应 $\alpha$ 被强烈仇恨所抵消，于是对于德国而言，可以认为 $k^{-1}\approx 3$（年），即 $k\approx 1/3$.
• $l$ 可以类似地估计，或者合理地假定它与国家的经济实力成正比. 这样若乙国的经济实力是德国的 2 倍，则可以估计 $l\approx 2/3$.

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• $\alpha$, $\beta$ 的估计
  
  • 设 $g=0$, $y=0$，由方程得 $\dot{x}=-\alpha x$，解得 $x(t)=x(t_0)\cdot\mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)}$，即 $x(t_0+{1}/{\alpha})=\frac{x(t_0)}{\mathrm{e}}$
  • 上式表示在不存在敌视且乙方无军备时，$\frac{1}{\alpha}$ 是军备减少到原来的 $\frac{1}{\mathrm{e}}$ 所需要的时间.
  • $\alpha$ 称为松驰时间，Richardson 认为 $\frac{1}{\alpha}$ 是一个国家议会的任期，例如对于美国来说，$\alpha=0.2$，美国议会的任期是五年.

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Richardson 关于两伊战争的例子

将微分方程模型替换为差分形式

$$\left\{\begin{array}{l} \Delta X(n)=\delta_1 Y(n-1)-\alpha_1 X(n-1)+g\\ \Delta Y(n)=\delta_2 X(n-1)-\alpha_2 Y(n-1)+h \end{array}\right.$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Year} & \text{Iran} & \text{Iraq} & \text{Year} & \text{Iran} & \text{Iraq} & \text{Year} & \text{Iran} & \text{Iraq} & \text{Year} & \text{Iran} & \text{Iraq} \\ \hline 1955 & 107 & 67 & 1960 & 292 & 145 & 1965 & 435 & 402 & 1970 & 612 & 723 \\ 1956 & 126 & 94 & 1961 & 320 & 185 & 1966 & 460 & 450 & 1971 & 732 & 781 \\ 1957 & 151 & 102 & 1962 & 345 & 206 & 1967 & 473 & 480 & 1972 & 840 & 921 \\ 1958 & 243 & 110 & 1963 & 387 & 271 & 1968 & 498 & 513 & 1973 & 980 & 1292 \\ 1959 & 271 & 129 & 1964 & 425 & 359 & 1969 & 534 & 549 & 1974 & 1308 & 1632 \\ \hline \end{array}$$

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递推求解

• 使用多元线性回归得到
  
  • $\left\{\begin{array}{l}X(n)=0.651 X(n-1)+0.432 Y(n-1) + 37.1\\ Y(n)=0.195 X(n-1)+1.13 Y(n-1)+(\bbox[yellow]{-52.9})\end{array}\right.$
• 或 $\left(\begin{array}{c} X(n) \\ Y(n) \end{array} \right)=\left(\begin{array}{cc} 0.651 & 0.432 \\ 0.195 & 1.13 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} X(n-1) \\ Y(n-1) \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c} 37.1 \\ -52.9 \end{array}\right)$
• 最终解得
  $\left( \begin{array}{c} X(n) \\ Y(n) \end{array}\right)=c_1(1.2668)^n \left(\begin{array}{c} 0.701 \\ 1 \end{array}\right)+c_2(0.5142)^n \left(\begin{array}{c} 1 \\ -0.317 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 213.531 \\ 86.626 \end{array}\right)$

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关于 -52.9 的解释

• 数据尾部上翘，造成拟合直线斜率过大，从而在 $Y$ 轴上的截距为负.

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课后思考

（$\star\star$）在正规战争模型中，设乙方与甲方战斗有效系数之比 $a/b=4$，初始兵力 $x_0$ 与 $y_0$ 相同. 问乙方取胜时的剩余兵力约是多少，乙方取胜的时间如何确定？如果甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 $r$ 增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负.