3-7 微积分笔记

多元函数的极限和连续

多元函数的概念

平面点集

二维空间：$R^2 = \{(x,y) | x,y \in R^1\}$

设集合$E \subseteq R^2$，称为平面点集。

【邻域】 称集合$\{(x,y)|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\}~(\delta > 0;~x_0,y_0\in R^1)$为$P_0(x_0,y_0)$的$\delta$邻域。记为$U(P_0,\delta)$.

它围成了一个圆，圆内的点属于邻域（不包括圆上的点）。

轻易可以推广到$n$维空间的情形：

$$\{P(x_1,x_2,\cdots,x_n) | P_0\in R^n,|P-P_0|<\delta,\delta > 0\}$$

对距离的定义可以不同，导致我们可以刻画出各种邻域。譬如，采用切比雪夫距离$|x-x_0|<\delta ,|y-y_0|<\delta$，可以得到方形邻域。

去心邻域：

$$\{(x,y) | 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta,(x_0,y_0)\in R^2,\delta > 0\}$$
记为$U(\hat{P_0},\delta)$

【内点】
设$E\subseteq R^2$，设$P\in E$，若存在$P$的某邻域$U(P)$，使得$U(P)\subseteq E$成立，则称$P$为$E$的内点。

e.g. $E_1 = \{(x,y)| x^2+y^2 =1\}$没有内点。
$E_2 = \{(x,y)| x^2+y^2 \leq 1\}$的内点是圆内所有点。

【边界点】
设$E\subseteq R^2,P\in R^2$，无论多么小的邻域，其中总有属于$E$的点，也有不属于$E$的点：则称$P$为边界点。

e.g. $E = \{(x,y)| 0<x^2+y^2 \leq 1\}$的边界点是$(0,0)$和圆上的点。

【边界】
点集$E$的全体边界点之集合，即为$E$的边界。

【有界性】
设$E\subseteq R^2$，若$\exists M>0$，有$E\subseteq U(O,M)$成立，则称$E$是有界的。其中$O$是坐标原点，事实上可以采用其他的点。

【开集】
由内点构成的平面点集，称为开集。

【连通性】
对于开集$E$，若其上的任意两点均可以由属于自己的折线相连接，则称$E$具有连通性。

譬如：$E=\{(x,y)|x>y\}$的开集就是它自己；任意两点都可以在开集内部用折线连起来。

【开区域】
具有连通性的开集，称为开区域。简称区域。

【闭区域】
开区域加上边界，称为闭区域。
（有的开区域不存在边界，故没有对应的闭区域。）

e.g. $\{(x,y)| 0<x^2+y^2 < 1\}$是个开区域，它对应的闭区域是$\{(x,y)| x^2+y^2 \leq 1\}$，因为边界是$(0,0)$和圆上的点。

【直径】
设$E\subseteq R^2$，若

$$d=\sup_{P_1,P_2\in E}\{|P_1-P_2|\}$$
存在，则称$d$为$E$的直径。

直径用来刻画有界的平面点集中，任意两点的距离的最大值。

【聚点】
设$E\subseteq R^2$，设$P_0\in R^2$.若无论多么小的$P_0$的邻域，其上均有无穷多个属于$E$的点，则称$P_0$为$E$的聚点。

这里并不关心$P_0$自己是否属于$E$.

边界点未必是聚点。比如我们考虑$E\{(x,y)| x^2+y^2 \leq 1\} \cup {(2,3)}$，这里$(2,3)$是边界，不是聚点。

多元函数

若$E$为平面点集，$\forall P \in E,\exists z\in R^1$，按某种法则与点$P$对应，则这种对应关系记为$z=f(P)$或$z=f(x,y)$.

e.g.

$$f(x,y)=\ln(x^2+y^2-1)+\sin\sqrt{x^2+3xy+y^2}$$

它生成了三维空间中的曲面

$$\{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)\in E\}$$

【多元函数的复合函数】
$z=f(x,y),x=x(u,0),y=y(u,v)$