11-26 微积分笔记

定积分的概念

我们在$[a,b]$随意插入$n-1$个分点，然后在$[x_i,x_{i+1}]$中随意取$\xi_i$，得到

$$\sum f(\xi _i)\Delta x_i$$
称为黎曼和。

如果无论分点如何选、$\xi_i$怎么取，下述极限都存在且相等：

$$\lim_{\lambda \to 0}f(\xi_i)\Delta x_i \quad \lambda = \max_{1\leq i \leq n}\{|\Delta x_i|\}$$
则称$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，其极限值称为$f(x)$在$[a,b]$上的定积分。记为：
$$\lim _{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i = \int_a^b f(x)dx$$

$a,b$：积分下限、积分上限
$f(x)$：被积函数
$f(x)dx$：被积表达式（被积式）
$x$：积分变量

几何意义

$\int_a^bf(x)dx$：曲边梯形面积的代数和。在$x$轴上方则加正号，在下方则加负号。

可积

$f(x)$可积，则$f(x)$在$[a,b]$内有界。
逆命题不成立，反例可举狄利克雷函数.

如果$f(x)\in C[a,b]$，则$f(x)$在$[a,b]$可积。

若$f(x)$除有限个第一类间断点外连续，则$f(x)$可积。

性质

$\int f(x)dx=\int f(t)dt$
$\int _a^a f(x)dx=0$
$\int_a^b dx=b-a$
$\int _a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx$
$\int _a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx+\int _c^bf(x)dx$

【线性性质】$\int [\alpha f(x)\pm \beta g(x)]dx = \alpha \int f(x)dx+\beta\int g(x)dx$

【保序性】若$\forall x\in [a,b]: f(x)\leq g(x)$，则$\int _a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx$

若$|\int f(x)dx| \leq \int|f(x)|dx$

$\forall x\in[a,b],m\leq f(x)\leq M$，则有：

$$m(b-a)\leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)$$

推论：$\exists \xi \in[a,b],s.t.$

$$f(\xi)(b-a)=\int _a^bf(x)dx$$

这就是积分中值定理。