11-12 微积分笔记

不定积分

定义

设$F'(x)=f(x),x\in I$.则$F(x)$称为$f(x)$的一个原函数。
设$\phi(x)$是$f(x)$的任一原函数，则$\phi'(x)=f(x)$，有$\phi(x)=F(x)+c$.

则$f(x)$的原函数，拥有统一形式$F(x)+c$，其中$c$为任意函数。
将这个统一形式$F(x)+c$称为$f(x)$的不定积分。记为：

$$\int f(x) dx = F(x)+c$$

其中“$\int$”称为积分号，$f(x)$称为被积函数，$f(x) dx$称为被积式。$x$称为积分变量，$dx$称为积分变量的微分，$c$称为积分常数。

把一个原函数$F(x)$称为一条积分曲线。
而$F(x)+c$就是一条积分曲线上下平移得到。所以$\int f(x)dx$对应着很多条曲线，把这些区间称为一族积分曲线。

一族积分曲线上，$x$对应的点，切线当然平行。

原函数的存在性

【1】连续函数一定有原函数。（下一章再来证）

【2】有第一类间断点的函数一定没有原函数。
这是因为：导函数必定没有第一类间断点。

现在我们直接证明【2】。假设有第一类间断点的$f(x)$存在原函数$F(x)$。
那么：

$$\lim_{x\to x_0^+}f(x),\lim_{x\to x_0^-}f(x)$$
均存在。且$F(x)$在$x_0$处可导，$F'_{+}(x_0)=F_-'(x_0)=F'(x_0)$

则$F_+'(x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0^+} F'(x)$，最后一步是通过洛必达法则得出。而$\lim_{x\to x_0^+} F'(x)=f(x_0^+)$.
故$F_+'(x_0) = f(x_0^+)$
同理：$F_-'(x_0)=f(x_0^-)$

第二类间断点，$f(x_0^+)\neq f(x_0^-)$，故$F(x)$在$x_0$左右导数不相等，$F(x)$不可导。在此产生矛盾。

【3】有第二类间断点

不一定有原函数。

性质

$(\int f(x) dx)'=f(x)$
$\int f'(x)dx = f(x)+c$
$d(\int f(x)dx)= f(x)dx$
$\int d f(x)=\int f'(x)dx=f(x)+c$
$\int[f(x)\pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx + c$
$\int kf(x) = k\int f(x)$

推广(5)(6)有$\int[af(x)\pm bg(x)]dx = a\int f(x)dx \pm b\int g(x)dx$
这说明了其线性性质。

计算

$\int 0 dx = c$
$\int x^\alpha dx = \frac{1}{\alpha + 1}x^{\alpha + 1}+c$
$\int \frac{1}x dx = \ln|x| +c$
$\int dx = x+c$
$\int a^xdx = \frac{a^x}{\ln a} + c$
$\int e^x dx = e^x +c$

$\int \sin x dx = -\cos x +c$
$\int \cos x dx = \sin x + c$
$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x +c$
$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + c$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx= \arcsin x +c = -\arccos x +c$
$\int \frac1{1+x^2} dx = \arctan x + c = - \text{arccot} x +c$

初等变形+公式

举个例子：

$$\int \frac{1}{(x+a)(x+b)}dx = (\int\frac{1}{a+x}dx-\int\frac{1}{x+b}dx)\frac{1}{b-a}$$
后者就不难做了。

【例1】

$$\int \frac{3x^2}{x^2+1}dx = 3\int\frac{x^2+1-1}{x^2 +1}dx=3-\int\frac{1}{x^2+1}dx=3-arctan x +c$$

【例2】

$$\int \tan^2 xdx=\int \frac{\sin^2x}{\cos^2x}dx=\int\frac{1-\cos^2x}{\cos^2 x}dx=\int(\frac{1}{\cos^2x} -1)dx=\tan x-x+c$$

【例3】

$$\int \sin^2x dx = \int \frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac12x-\frac14 \sin2x+c$$

【例4】

$$\int \cos^2 dx=\int \frac{1+\cos 2x}{2}dx$$
同理即可。

【例5】

$$\int \frac{\cos 2x}{\sin^2x\cos^2x}dx=\int \frac{\cos^2x -\sin^2x}{\sin^2x \cos^2x}dx = \int \frac{1}{\sin^2x}dx-\int\frac{1}{\cos^2x}dx = -\cot x -\tan x +c$$

【例6】

$$\int \frac{1+\cos^2x}{1+\cos 2x}dx =\int \frac{1+\cos^2x}{2\cos^2x}dx = \frac12x+\frac{1}{2}\tan x +c$$

【例7】

$$\int (\frac{1}{\sqrt x}-1)(x^2+x-1)dx$$
直接暴力搞.

【例8】 设$f(x)=x^2(x\leq 1),\sqrt x(x>1)$。

$$\int f(x)dx=\begin{cases}1/3 x^3+c_1 &,x\leq 1\\ 2/3 x^{3/2}+c_2 &,x>1\end{cases}$$
原函数在$1$肯定得可导，故$1/3+c_1=2/3+c_2$，得到$c_1=1/3$
最后结果：
$$\int f(x)dx=\begin{cases}1/3 x^3+c &,x\leq 1\\ 2/3 x^{3/2}-1/3 + c &,x>1\end{cases}$$