11-19 微积分笔记

第二换元法

$\int f(x)dx$中，设$x=g(t)$，则$\int f(x)dx = \int f[g(t)]g'(t)dt$

一、$\int f(\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$

【例1】

$$\int \frac1{\sqrt[3]x + \sqrt x}dx$$
我们取$t=\sqrt[6]x$，则$x=t^6,dx=6t^5dt$.
$$ans = 6 \int \frac{t^3}{1 + t}dt = 6\int\frac{t^3+1-1}{1+t}dt = 6[\int (t^2-t+1)dt - \ln(t+1)]$$
$$=2t^3-3t^2+6t-6\ln(t+1) +C = 2\sqrt x - 3 \sqrt[3]x+6\sqrt[6]x-6\ln(\sqrt[6]x +1)+ C$$

【例2】

$$\int \frac1{x\sqrt{x^{12}-1}}dx$$
取$t=\sqrt{x^{12}-1}$,则$x=(t^2+1)^{1/12},dx=\frac1{12}(t^2+1)^{-11/12}2tdt$

则

$$ans = \frac1{12}\int \frac{(t^2+1)^{-11/12}\cdot 2t}{(t^2+1)^{1/12}\cdot t}dt=\frac{1}{6}\int\frac{1}{t^2+1}dt=\frac16 \arctan t +C$$
$$=\frac16 \arctan(\sqrt{x^{12}-1}) +C$$

二、$\int f(\sqrt{Au^2+Bu+C})du$

一般而言，对于一个二次多项式，可以配成$u^2+a^2,u^2-a^2,a^2-u^2$其中一种。这种形式是好积的，三角换元即可。

例如：

$$\int f(\sqrt{x^2+a^2})dx$$
我们取$x=a\tan t$，则$x^2=a\tan^2t,\sqrt{x^2+a^2}=a\sqrt{\tan^2 t + 1}=a\sec t$.故
$$ans = \int f(a\sec t)d(a\tan t)$$

接下来依据$f$的性质来处理。

【例1】

$$\int \frac1{x^2+a^2}dx$$
我们取$x=a\tan t$，则$x^2+a^2=a^2\sec^2t$，$dx=a\sec^2 tdt$

$$ans = \int \frac{a\sec^2t}{a^2\sec^2t}dt=\int \frac{dt}a=\frac{t}a + C = \frac1a \arctan\frac xa +C$$

【例2】

$$\int \frac1{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \int \frac1{a\sec t}a\sec^2t dt = \int \sec t dt$$
$$=\ln|\sec t +\tan t|+C=\ln|\frac xa + \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}| +C$$

【例3】

$$\int\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}dx$$

取$\frac ax = \sin t$，则

$$ans = \int \frac{1}{\frac a{\tan t}}d\frac{a}{\sin t} = \int \frac{\sin t}{\cos t}(-\frac{\cos t}{\sin ^2 t}) dt = -\int \csc t dt = -\ln|\csc t - \cot t| +C$$
$$=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}| +C$$

【例3】

$$\int \sqrt{a^2 - x^2}dx$$
取$x=a\sin t$，则$\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t,dx=a\cos t dt$
$$ans = a^2\int \cos^2t dt=a^2\int \frac{1+\cos 2t}{2}dt=\frac{a^2}{2}(t+ \frac12 \int \cos2td(2t))$$
$$=\frac{a^2 t}{2} + \frac{a^2}{2}\sin t\cos t +C$$
$$=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac xa+\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2} +C$$

【例4】

$$\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^4}dx$$
取$x=\sin t$，则$\sqrt{1-x^2}=\cos t,dx=\cos t dt$
$$ans = \int \frac{\cos^2 t}{\sin^4 t}dt = \int \csc^2t\cot^2t dt = \int \cot^2t \cdot d\cot t = -\frac13\cot^3 t +C$$
画个图，斜边为1，一条直角边为$x$，其对角为$t$，就能把$\cot t$用$x$表达出来了。

分部积分法

第一、第二换元法的来源是求导的【复合】运算；
分部积分法的来源是求导的【乘法】运算。

$(uv)'=u'v+v'u$
故$\int (uv)'dx=\int u'vdx+\int v'udx$
故$\int u'v dx = uv - \int v'u dx$

也就是
$\int v\text du=uv-\int u\text dv$

这就是分部积分法。

【操作步骤】
把被积式拆成两个因子$u,dv$；
求出$du$和$v$；
求$\int v du$.

【例1】

$$\int \ln x dx = \int \ln x d(x)=x\ln x-\int x d(\ln x) = x\ln x - x +C$$

【例2】

$$\int \arctan x dx = \int \arctan x d(x) = x\arctan x - \int xd\arctan x = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$$
$$=x\arctan x - \frac12\int \frac{d(x^2)}{1+x^2}=x\arctan x - \frac12 \ln(a+x^2)+C$$

【例3】

$$\int (\arcsin x)^2 dx =x(\arcsin x)^2 - \int x d(\arcsin x)^2$$
而 $$\int xd(\arcsin x)^2 = \int x\cdot 2\arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\int \frac{\arcsin x }{\sqrt{1-x^2}} d(1-x^2) =-2\int \arcsin x d(\sqrt{1-x^2})$$

故

$$ans = x(\arcsin x)^2 + 2(\arcsin x)\sqrt{1-x^2} - 2 \int \sqrt{1-x^2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$$
接下来显然。

【结论】 $\int$对$\cdot$幂 $dx$，$\int$反三角$\cdot$幂 $dx$，我们一般取$dv=$幂$dx$，因为幂函数好积；对数函数、反三角函数好导。

【例1】

$$\int x^{3/2}\ln x dx = \frac25 x^{5/2}\ln x - \frac25\int x^{3/2}dx$$

【例2】

$$\int x\arctan x dx = \frac12 \int \arctan x d (x^2) =\frac12 x^2\arctan x -\int \frac12 \frac{x^2+1-1}{1+x^2}dx$$