12-12 微积分笔记

微分方程

【例1】设一曲线满足其上任意一点M处的切线与OM垂直。求曲线方程。

也就是说：

$$\frac{d}{dx}y = - \frac{x}{y}$$

【例2】 物体受重力作用自由落下，初速度为$v_0$，求$S(t)$。

$$F=mg = m \frac{d^2 S(t)}{dt^2}$$
故
$$S''(t)=g$$

由于初速度为$v_0$，故$S'(0)=v_0$.另外，有$S(0)=0$.

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【微分方程的定义】 含有未知函数的导数或微分（对一元函数，是常微分；对多元函数，是偏微分）的方程。

【阶数的定义】含有未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶数。例如：$y''=x$是二阶微分方程。

【解的定义】 通解：含有$n$个相互独立的任意常数的解。例如$y=c_1 x + c_2$
奇解：不在通解之中的解。
特解：通解中，固定常数的解

来看之前的【例2】.有：

$$S'(t)=gt+c_1 \\ S''(t)=\frac12gt^2+c_1t+c_2$$
代入$S(0)=0,S'(0)=v_0$知
$$S(t)=v_0t + \frac12 gt^2$$

这是一个满足实际问题的特解。

【定解条件】
一、初始条件：给定$y(x_0),y'(x_0)\cdots y^{(n)}(x_0)$，可以确定所有参数。
-> 解初始条件：柯西问题（初值问题）。比如我们刚刚的自由落体问题，给定了初始条件。

二、边界条件：给定$y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1\cdots y(x_{n-1})=y_{n-1}$

【积分曲线】：解对应的曲线。

微分方程的研究方法

一、经典解法：不定积分
二、数值解法：近似解法
三、定性分析：是否有解、周期性、稳定性等等。
四、微分方程的反问题：由解去逆推方程。

【例】 求以$y=c_1e^x + c_2e^{2x}$为通解的微分方程。
解：含有两个独立常数，所以是二阶的。直接求导
$y'=c_1e^x + 2c_2e^{2x},y''=c_1e^x+ 4c_2e^{2x}$
回头看$y=c_1e^x + c_2e^{2x}$
把$c_1,c_2$消去，即可得到对应的微分方程。

我们主要研究经典解法。

一阶微分方程

可分离变量的微分方程

此时，我们可以通过一次不定积分来搞出结果。

例如，方程若满足以下形式：

$$y' = \frac{dy}{dx} = P(x)Q(y)$$
则可变形为
$$\frac{dy}{Q(y)}=P(x)dx$$
这称为“分离变量”，将$y$和$x$分在两边。两边同时求不定积分：
$$\int \frac{dy}{Q(y)} = \int P(x)dx$$

【例1】 $y'=-\frac xy$
则

$$ydy = -x dx$$
$$\int ydy = \int -xdx$$
得到
$$\frac12 y^2 = -\frac12 x^2 +c$$
也就是说
$$x^2+y^2 = c^2$$
这就是问题的通解（也是所有解）。

【例2】 求解方程$y'=y^2 \cos x$

$$\int \frac{dy}{y^2}=\int \cos x dx$$
注意到这里$y\neq 0$.
$$-\frac1y = \sin x +c$$
这就是通解。

回头考虑$y=0$的情况，发现确实是一个解。因此$y=0$是奇解。

【例3】 $f'(x)+xf'(-x)=x$，求$f(x)$.
解：有$f'(-x)-xf'(x)=-x$，消一下就有

$$f'(x)=\frac{x+x^2}{1+x^2}$$
这样就分离了$x$和$f'(x)$.接下来求不定积分即可。

一阶线性微分方程

满足形式

$$y'=P(x)y + q(x)$$
其中$q(x)$称为自由项。$q(x)=0$则称为一阶齐次线性微分方程；$q(x)\neq 0$则称为一阶非齐次线性微分方程。

齐次：则此时即可分离变量。

$$y'=P(x) y \\ \frac{dy}{y} = P(x)dx \quad (y\neq 0)\\ \ln|y|=\int P(x)dx+c \\ |y|=e^{c}\cdot e^{\int{P(x)dx}}$$
也就是
$$y = \pm e^c \cdot e^{\int P(x)dx}$$

此外，看$y=0$的情况，注意到它是解。因此$\pm e^c$与$0$合起来取遍$\mathbb{R}$：

$$y = c\cdot e^{P(x)dx}$$
即为所有的解。

非齐次

$$\ln |y| = \int \left[P(x)+\frac{q(x)}{y}\right]dx +c$$
$$y = ce^{P(x)+\frac{q(x)}{y}dx}=c \cdot e^{\int P(x)dx} e^{\int \frac{q(y)}{y}dx}$$
我们现在可以设
$$y=C(x) e^{\int P(x)dx}$$
称为【常数变易法】。

求导有

$$C'(x)e^{\int P(x)dx} + C(x)e^{\int P(x)dx}\cdot P(x) = P(x)C(x)e^{\int P(x)dx} +q(x)$$
整理得
$$C'(x)=q(x)e^{-\int P(x)dx}$$
$$C(x) = \int q(x)e^{-\int P(x)dx}dx +c$$
于是
$$y=e^{\int P(x)dx} \left[ c+\int q(x)e^{-\int P(x)dx}dx \right]$$
这就是通解。

如果令$c=0$，那么$y=e^{\int P(x)dx}\cdot \int q(x)e^{-\int P(x)dx}dx$.这是一个特解。

如果我们将通解乘开，可以得到

$$y=c e^{\int P(x)dx} + e^{\int P(x)dx}\int q(x)e^{-\int P(x)dx}dx$$

也就是说
齐次通解 + 非齐次特解 = 非齐次通解