11-28 微积分笔记

推论：$\exists \xi \in[a,b],s.t.$

$$\int _a^bf(x)dx = f(\xi)(b-a)$$

这就是积分中值定理。

它的几何意义是：对于一个曲边梯形，我们总能找到一个合适的高，使得矩形面积等于曲边梯形面积。这个高相当于$f(x)$的平均值。

【例1】 若$f(x),g(x)$在$[a,b]$上平方可积，证明Cauchy不等式：

$$(\int _a^b f(x)g(x)dx)^2 \leq \int_a^bf^2(x)\cdot \int_a^bg^2(x)dx$$

pf. 我们设$B=\int _a^b f(x)g(x)dx,A=\int_a^bf^2(x)dx,C=\int_a^bg^2(x)dx$
则只需证：

$$A^2t+2Bt+C=0$$
无解。
$$*=t^2\int_a^b f^2(x)dx + 2t\int_a^bf(x)g(x)dx + \int_a^bg^2(x)dx$$

$$=\int_a^b [t^2\cdot f^2(x)+2t\cdot f(x)g(x)+g^2(x)]dx$$
$$= \int_a^b[t\cdot f(x)+g(x)]^2dx \geq 0$$
故$\Delta =(2B)^2-4AC \leq 0$，从而$B^2\leq AC$。证毕。

【例2】设$f(x)\in C[a,b]$，且$b-a\leq 1$.
则

$$[\int_a^bf(x)dx]^2 \leq \int_a^b f^2(x)dx$$
pf. 利用Cauchy不等式，取$g(x)\equiv1$，立即可证。

现在来考虑一个物理问题。若已知速度$v(t)$，可以求得物体在$[0,t]$时间内的位移：

$$S(t)=\int_0^tv(x)dx$$

$t$取一个值，那$S(t)$就有对应的值，它是一个函数。我们将这种函数称为变上限积分函数。

变上限积分函数

【定理1】设$f(x)\in C[a,b]$，则$\phi(x)=\int_a^xf(t)dt$可导，且$\phi'(x)=f(x)$.

pf.

$$\phi'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\phi(x+h)-\phi(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\int_a^{x+h} f(t)dt + \int_x^af(t)dt}{h}$$
$$=\lim_{h\to 0}\frac{\int_x^{x+h}f(t)dt}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{f(\xi)\cdot h}{h}=f(x) \qquad \xi\in[x,x+h]$$

条件强度：可积<连续<可导。后者能推出前者。

【定理2】 设$f(x)$在$[a,b]$可积，则$\phi(x)=\int_a^x f(t)dt$连续。

pf.

$$\lim_{h\to 0}[\phi(x+h)-\phi(x)] = \lim_{h\to 0}\int_x^{x+h}f(t)dt$$
而又有
$$0\leq \left| \int_x^{x+h}f(t)dt \right| \leq \int_x^{x+h}|f(t)|dt \leq \int_x^{x+h} M dt=M\Delta x\to 0$$
这是因为可积则有界。故$\lim_{h\to 0}[\phi(x+h)-\phi(x)]=0$.证毕。

变下限积分函数

容易发现其与变上限积分函数性质一致，因为

$$\int_x^bf(t)dt = -\int_b^x f(t)dt$$

变限积分函数

我们考虑函数

$$\int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt = \int_a^{\psi(x)}f(t)dt - \int_a^{\phi(x)}f(t)dt$$

若$f(x)\in C[a,b]$，则

$$[\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt]'=\frac{d}{dx}\int_a^{\psi(x)}f(t)dt - \frac{d}{dx}\int_a^{\phi(x)}f(t)dt$$
利用复合函数求导法则有
$$*= f[\psi(x)]\psi'(x) - f[\phi(x)]\phi'(x)$$

【例1】 设

$$y^y= x^2 + \int_{\sqrt x}^{y^2}\frac{\sin t}{t}dt$$
求$y'$.

解：两边关于$x$求导:

$$y^y(y'\ln y + y')=2x + \frac{\sin y^2}{y^2}2y\cdot y' - \frac{\sin \sqrt x}{\sqrt x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
整理一下就行了。

【例2】 设$\lim_{x\to 12}f(x)=0,\lim_{x\to 12}f'(x)=1009$.求

$$\lim_{x\to 12}\frac{\int_{12}^x[t \int_t^{12}f(u)du]dt}{(12-x)^3}$$

解：利用洛必达法则

$$*=\lim \frac{x\int_x^{12}f(u)du}{-3(12-x)^2}=-4\lim\frac{\int_x^{12}f(u)du}{(12-x)^2}$$
$$=-4\lim \frac{-f(x)}{-2(12-x)}=-2\lim\frac{f(x)}{12-x}=2*1009=2018$$

【微积分基本定理 第一部分】（微分部分）

$$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$$
而若$F'(x)=f(x)$，则有$F(x)=\int_a^x f(t)dt +C$.
其中$C=F(a),F(b)=\int_a^bf(t)dt+F(a)$

故

$$\int_a^b f(t)dt = F(b)-F(a) = F(x) |_a^b$$

【微积分基本定理 第二部分】（积分部分）
设$F'(x)=f(x)$,$f(x)\in C[a,b]$则

$$\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)=F(x)|_a^b$$

【例1】 设$f(x)=\begin{cases}x^2\quad,&0\leq x\leq 1 \\ x+5,&1<x\leq 2\end{cases}$
求$\int_0^2 f(x)dx$

解：我们有

$$* = \int_0^1x^2dx + \int_1^2(x+5)dx$$
$$=\frac13x^3|_0^1 + (\frac12 x^2+5x)|_1^2$$

【例2】求

$$\int_0^\pi\sqrt{1-\sin x}dx$$
解： $$*=\int_0^\pi\sqrt{1-2\sin\frac\pi2\cos\frac\pi2} = \int_0^\pi |\sin\frac\pi2-\cos\frac\pi2|$$
$$\square=\begin{cases}\cos\frac x2-\sin \frac x2 ,&x\in[0,\frac\pi2] \\ \sin\frac x2-\cos\frac x2,&x\in[\frac\pi2,\pi]\end{cases}$$

故

$$*=\int_0^{\frac\pi2}(\cos \frac x2 - \sin\frac x2)dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi (\sin \frac{x}{2}-\cos \frac x2)dx$$

接下来易做。