10-10 微积分笔记

【例4】 设$f(x)=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)$，求$f'(0)$.
解：直接求导，容易发现$f'(0)=n!$
也可以利用导数的定义：

$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=n!$$

高阶导数

【定义1】 设$y=f(x)$可导，若$y'$可导，则称$(y')'$为$y$的二阶导数，记为$y''=\frac{d^2y}{dx^2}=f''(x)$

如果$y''$可导，则将其导数称为$y$的三阶导数$\frac{d^3y}{dx^3}$。依此类推。

$y$的$n$阶导表示为：$y^{(n)}=\frac{d^ny}{dx^n}=f^{(n)}(x)$

特别地，定义$y^{(0)}=y$.

【反函数的二阶导】
我们之前已经了解：若$y=f(x)$可导，$f'(x)\neq 0$，其反函数$f(x)=g(y)$是$y=f(x)$的反函数。则$g(x)$亦可导，其反函数导数为$g'(x)=\frac{1}{f'(y)}$.
若$f''(x)$也存在，则

$$g''(x)=\frac{d}{dx}\frac{1}{f'(y)}=-\frac{\frac{d}{dx}f'(y)}{[f'(y)]^2}=-\frac{f''(y) y'}{[f'(y)]^2}$$
而$y'=g'(x)=\frac{1}{f'(y)}$，故
$g''(x)=- \frac{f''(y)}{[f'(y)]^3}$

【参数函数的二阶导】

【例】设$\begin{cases}x=\ln(t+\sqrt{1+t^2}) \\ y=5+(1+t^2)^{\frac52} \end{cases}$
求$\frac{d^2y}{dx^2}$.
解：$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=5t(1+t^2)^2$，记为$u$.
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{du}{dx}=\frac{\frac{du}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=5(1+t^2)^{3/2}(1+5t^2)$，其中$x=\ln(t+\sqrt{1+t^2})$.

【隐函数的二阶导】

【例】 设$xe^{\sin y}=e^y$，求$y''$.
解：

$$\frac{d}{dx} xe^{\sin y}=\frac{d}{dx} e^y$$
可知
$$\frac{dy}{dx}=\frac{e^{\sin y}}{e^y(1-\cos y)}=\frac{1}{x(1-\cos y)}$$
故有
$$y''=\frac{d}{dx} y' = - \frac{1-\cos y + x\sin y \cdot y '}{x^2(1-\cos y)^2} = -\frac{1-\cos y + \frac{\sin y}{1-\cos y}}{x^2(1-\cos y)^2} = -\frac{(1-\cos y)^2 + \sin y}{x^2(1-\cos y)^3}$$

高阶求导公式

四则

首先显然有

$$[f(x)\pm g(x)]^{(n)}=f^{(n)}(x)\pm g^{(n)}(x)$$

来考虑函数之积的高阶导。

$[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
$[f(x)g(x)]'' = f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)$

可达鸭眉头紧皱，发现这玩意和二项式定理很像，即：

$$[f(x)g(x)]^{(n)} = \sum_{i=0}^n C_n^i f^{(n-i)}(x)g^{(i)}(x)$$

这个规律叫做莱布尼兹公式。

除法没规律(╯‵□′)╯︵┻━┻

数乘

明显有$[cf(x)]^{(n)} = c f^{(n)}(x)$

复合

明显有$[f(ax+b)]^{(n)}=a^nf^{(n)}(ax+b)$，因为每求一次导就会提出一个$a$.

基本初等函数的高阶导

$c^{(n)}\equiv 0$

$(a^x)^{(n)} = a^x \ln^n a$
特殊地，$(e^x)^{(n)}=e^x$

$(x^\alpha)^{(n)} = \alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1) x^{\alpha - n}$

$(1/x)^{(n)}=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$

$(\ln x)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$

$(\sin x)^{(n)} = \sin(x+\frac{n\pi}{2})$

$(\cos x)^{(n)} = \cos(x+\frac{n\pi}{2})$

【例1】设$y=\frac{1}{x^2+5x+6}$，求$y^{(n)}$.
解：注意到$y=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}$，故

$$y^{(n)}=(\frac{1}{x+2})^{(n)} - (\frac{1}{x+3})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x+2)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+3)^{n+1}}$$

【例2】设$y=\cos x\cos 2x$，求$y^{(n)}$.
解：注意到$y=\frac{1}{2}[\cos(3x)+\cos(x)]$（积化和差）
故

$$y^{(n)} = \frac{3^n}2\cos(3x+\frac{n\pi}{n}) + \frac{1}{2} \cos(x+\frac{n\pi}2)$$

【例3】设$y=(x^2+x+1)e^x$，求$y^{(n)}$.
解：应用莱布尼兹公式，立刻有：

$$y^{(n)} = e^x[(x^2+x+1)+C_n^1 (2x+1)+C_n^2(2)] = [x^2 + (2n+1)x + n^2+1]e^x$$

【例4】 设$y=e^x\cos\sqrt3x$，求$y^{(n)}$.
解：动手找规律！
$y'=e^x(\cos\sqrt3 x - \sqrt3 \sin \sqrt3 x)$，立刻发现可以利用辅助角公式。得到 $y'=2e^x\cos(\sqrt3 x + \frac\pi 3)$
$y''=2e^x\cos(\sqrt3 x + \frac\pi 3) - 2\sqrt 3 e^x\sin(\sqrt3 x + \frac\pi 3)=2^2e^x\cos(\sqrt3x+\frac{2\pi}{3})$
猜测：$y^{(n)}=2^n e^x\cos(\sqrt3 x + \frac{n\pi}3)$
数学归纳法可证。

【例5】 设$f(x)=\arctan x$，求$f^{(n)}(0)$.
解：首先有$f(0)=0$.
考虑$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$，有$f'(0)=1$.下面考虑$n>1$的情况。
我们觉得多项式写在分母令人不爽。试图把多项式搞在分子（这样就能利用莱布尼兹公式了）
把式子改写为$f'(x)(1+x^2)=1$，左右对$x$求$n-1$阶导。有：

$$f^{(n-1)}(x)(1+x^2) + C_n^1 f^{(n-2)}(x)(2x) + C_n^2f^{(n-3)}(x)(2) = 0$$
令$x=0$，得到$f^{(n)}(0)=-(n-1)(n-2)f^{(n-2)}(0)$
这是一个递推公式。依据$f(0)=0,f'(0)=1$可以得到结论：
$f^{(n)}(0)= \begin{cases}0, & n\equiv 0 \pmod 2 \\ (-1)^m \cdot (2m)!, & n\equiv 1 \pmod 2\end{cases}$