12-10 微积分笔记

【例1】 求$y=\sin x$在$[0,\pi/2]$一段绕$x$轴旋转一周的面积。

$$S = 2\pi \int_0^{\pi/2}\sin x \sqrt{1+\cos ^2x } dx \qquad let ~u=\cos x\\ =-2\pi\int_1^0 \sqrt{1+u^2}du = 2\pi \int_0^1\sqrt{1+u^2}du \qquad let~u=\tan t\\ =2\pi \int_0^{\pi/4} \sec^3t dt$$
之前利用分部积分法推过递推公式，可以搞出$\int \sec^3 tdt$。

曲线长度

一、$y=f(x),x\in [a,b]$的长度

直接利用弧积分公式：

$$S = \int_a^b ds =\int_a^b \sqrt{1+f'^2(x)}dx \qquad (dx>0)$$

二、$\begin{cases} x=\phi(t) \\ y=\psi(t)\end{cases}$在$t\in[\alpha,\beta]$的长度

$$S=\int_\alpha^\beta \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt\qquad (dt>0)$$

三、$r=r(\theta),\theta\in[\alpha,\beta]$的长度

$$S=\int_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\theta) + r^{2\prime} (\theta)}d\theta$$

【例1】 求旋轮线$\begin{cases}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{cases}$的一个拱的长。$0\leq t \leq 2\pi$.
解：

$$S=\int_0^{2\pi}\sqrt{2a^2(1-\cos t)}dt=\int_0^{2\pi} 2a\sin\frac t2 dt$$

【例2】 求星形线$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$的长度。
解：取$x^{1/3}=a^{1/3}\sin \theta,y^{1/3}=a^{1/3}\cos \theta$.
则$x=a\sin^3 \theta,y=a\cos^3\theta$.

$$S=4 \int_0^{\pi/2} 3a\sin \theta \cos \theta d\theta$$

物理应用

积分中值定理的几何意义：曲边梯形的面积等于矩形面积。对应的高$f(\xi)$即为这个曲线的平均高度。
也就是说

$$\overline h = \frac{\int_a^bf(x)}{b-a}$$

现在来看周期为$T$的交流电的平均功率。

$$\overline P = \frac{\int_0^T i^2(t) R dt}{T}$$

【例1】 设有一长度为$l$，质量为$M$的均匀细杆$AB$，在$AB$延长线处有一质点，质量为$m$，与$B$距离为$a$，求细杆对质点的引力。

解：将$B$作为原点，质点方向为正方向建轴。
考虑$-x$位置，给细杆一个增量$dx$有

$$dF = G\frac{\frac{M}{l}dx\cdot m}{(a+x)^2}$$
故 $$F = \int_0^{l}\frac{GMm}{l}\frac{dx}{(a+x)^2}=-\frac{GMm}{l(a+x)}\Bigg|_0^l$$

【例2】半球形容器盛满水，半径$R$米。求抽干所有的水克服重力做的功。

解：利用多个圆柱体来近似这个半球。

直接以球心为原点，在深$y$处给一增量$dy$，则

$$dW = \pi(R^2-Y^2)dy\cdot \rho g(0-y)$$
$$W = \int_{-R}^0 dW$$
即可求出做功。

【例3】 一起重机将250kg重的水泥桶吊到地面10米处，起重机另一端距地面25m，吊索8kg/m。水泥桶有个洞，以4kg/min的速度漏出水泥，若此水泥以0.5m/min的速度被吊起，求克服重力做功。

在$[0,10]$的某高度$x$处，给一增量$dx$

$$dW =(25-x)\cdot 8g \cdot dx + (250-\frac{x}{0.5}\cdot 4) \cdot g dx$$
$$W = \int_0^{10} dW$$

例题选讲

【例1】 $f(x)$连续。已知$\int_0^x t\cdot f(2x-t)dt = \frac12 \arctan x^2$.$f(1)=1$.求$\int_1^2 f(x)dx$

取$2x-t=u$
则

$$\int_0^x t f(2x-t)dt = \int_{2x}^{x} (2x-u) f(u) (-du)$$
$$= \int_x^{2x} 2xf(u)du - \int_x^{2x} uf(u)du$$
$$= 2x\int_x^{2x} f(u)du - \int_x^{2x} uf(u)du = \frac12 \arctan x^2$$
此时左右对$x$求导
$$2\int_x^{2x} f(u)du + 2x[2f(2x)-f(x)] - [2x f(2x)\cdot 2 -xf(x)] = \frac{x}{1+x^4}$$

整理得

$$2\int_x^{2x} f(u)du -xf(x) = \frac{x}{1+x^4}$$
代入$x=1$即得
$$\int_1^2f(u)du = \frac 34$$
即为答案。