10-15 微分中值定理

罗尔中值定理

我们且看$f(x)=\sin x$和$g(x)=\cos x$在$[0,2\pi]$内的情形。它们都连续且有界。

$f(x)$在两个最值点切线水平；而$g(x)$在这两个点取$0$。

【罗尔定理（Rolle Th.）】 设$y=f(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$上可导，且$f(a)=f(b)$，则$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。
结论也可表述为：使得$f'(x)=0$在$(a,b)$内有根。

罗尔定理的作用：

• 由于最值原理，可以研究区间的最大、最小值。
• 最值点至少有一个取在了$(a,b)$内。
• $(a,b)$内的最值点必可导。

pf. 只需要证在$(a,b)$内有最值点，且导数为$0$.

由$f(x)\in C[a,b]$，故$f(x)$在$[a,b]$有最大最小值$M,m$。
由$f(a)=f(b)$，可分类讨论：

• $m=M$ 则$f(x)$为常函数，结论成立。
• $m<M$ 既然$f(a)=f(b)$，那么$f(a),f(b)$不能同时取到$M,m$，必有一个最值取在$(a,b)$内。我们不妨设$f(\xi)=M$，现在证$f'(\xi) = 0$.
  由于$f(x)\in D(a,b)$，故
  $$f'_+(\xi) = \lim_{x \to \xi^+}\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi} \leq 0$$
  这是因为分子为正，而分母小于等于$0$（因为$\xi$是最大值点）。接下来同理可证$f'_-(\xi)\geq 0$.
  又据$f(x)\in D(a,b)$，则有$f'_-(\xi)=f'_+(\xi)=f'(\xi)$，故$f'(\xi) = 0$.

在上面的过程中，定理正确性取决于上面关于$\xi$点左右导数的符号。观察证明过程，我们发现：不需要$f(\xi)$在整个$(a,b)$取最大值才能使$f'(\xi)=0$，事实上，只需要$f(\xi)$在其邻域内是最值就行了。
这就是费马引理。

费马引理

【费马引理（Fermatt 引理）】 设$y=f(x)$在$x$的邻域内有定义，$f'(x_0)$存在，且$f(x_0)$是$x_0$邻域内的最值，则$f'(x_0)=0$。这种$x_0$又称“极值”。

【应用】

一、方程有根问题（利用零点原理、费马引理、罗尔定理）
二、存在点$\xi$满足某等式的问题

【例1】 证明方程$C_1\cos x + C_2\cos 2x +\cdots +C_n\cos nx = 0$在$(0,\pi)$至少有一个根。其中$C_i$为任意常数。
解：为了利用罗尔定理，我们构造$F(x)$使$F'(x)=f(x)$.
可以令$F(x)=C_1\sin x + \frac{1}{2} C_2\sin{2x}+\cdots +\frac{C_n}{n}\sin nx$
由于$F(x)$在$[0,\pi]$连续，在$(0,\pi)$可导，且$F(0)=F(\pi)=0$，由罗尔定理，$\exists \xi\in(0,\pi)$，使得$F'(\xi)=f(\xi)=0$，即原方程有根。

【例2】 设$C_0+\frac{C_1}{2}+\cdots \frac{C_n}{n+1}=0$，证$C_0+C_1x+C_2x^2+\cdots + C_nx^n=0$在$(0,1)$有根。
证：考虑$F(x)=C_0 x + \frac{C_1}{2}x^2+\cdots + \frac{C_n}{n+1}x^{n+1}$
有$F'(x)=\sum_{i=0}^nC_ix^i$.
注意到$F(0)=F(1)=0$，又$F(x)\in C[0,1],F(x)\in D(0,1)$，据罗尔定理：$\exists \xi \in (0,1)$，使得$F'(x)=0$，即原方程有根。

【例3】 设$f(x),g(x) \in C[a,b]$，且于$(a,b)$可导，$g(x)\neq 0$，$g'(x)\neq 0,f(a)=f(b)=0$。证明：$\exists \xi \in (a,b)$使得$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = -\frac{f(\xi)}{g(\xi)}$
证：我们换一下式子，即证：$f'(\xi)g(\xi)+f(\xi)g'(\xi)=0$
明显可以构造$F(x)=f(x)g(x)$，接下来过程略。

【例4】 设$f(x)\in D[a,b],f_+'(a)f_-'(b)<0$，证：$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)=0$.
证：函数在$a$点往上走，在$b$往下走，那肯定最大值在$(a,b)$内。现在来证明之。
不妨设$f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0$，则有$f(x)-f(a)>0$，因此：在$a$的右邻域内$\exists x_1$，使得$f(x_1)>f(a)$.
同理，在$b$的左邻域内有一点$x_2$，使得$f(x_2)>f(b)$.
所以，$f(a)$和$f(b)$都不是$[a,b]$中的最大值点，因此最大值点取在$(a,b)$内。由费马引理，$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f(\xi)=M$，$f'(\xi)=0$.

【例5】 设$f(x)$在$[1,2]$二阶可导，$F(x)=(x-1)^2f(x)$，且$f(1)=f(2)=0$，则$\exists \xi\in(1,2)$，使得$F''(\xi)=0$.
证：既然$f(1)=f(2)=0$，可以得到$F(1)=F(2)=0$.据罗尔定理，必存在$u \in (1,2)$，使得$F'(u)=0$。
考虑$F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)^2f'(x)$，注意到$F'(1)=0$。然而我们刚才知道了$F'(u)=0$，再利用一次罗尔定理，则有：$\exists \xi \in (1,u)$，满足$F''(\xi)=0$。又$u<2$，故原命题得证。

【例6】 试证：设$f(x)\in C[a,b],f(x)\in D(a,b)$，则$\exists \xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
令$F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} x$，则明显$F(x)\in D(a,b),F(x)\in C[a,b]$.
现在我们有$F(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot a = \frac{bf(a)-af(b)}{b-a}$
$F(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot b=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}$
所以$F(a)=F(b)$。由罗尔定理，证毕。

上面的命题就是拉格朗日中值定理。

思考题 $f(x)\in D[a,b]$，$f'(x)$是否必定连续？举一个反例。