11-23 微积分笔记

【代数学基本定理】 设实数域上的函数$Q(x)=c(x-a)^\lambda \cdots (x^2+px+q)^\mu$，其中$\lambda,\mu \in Z^+$
则真分式

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{(x-a)^\lambda} + \cdots + \frac{A_\lambda}{(x-a)} + \cdots + \frac{M_1 x +N_1}{(x^2+px+q)^\mu}+\cdots +\frac{M_\mu x +N_\mu}{x^2+px+q}$$

其中，$A_1,A_2 \cdots A_\lambda , M_1,M_2\cdots M_\mu,N_1,N_1,\cdots N_\mu$，都是待定常数。

通过这种方式，我们可以把被积式拆成几种基本分式，从而积出来。

一、

$$\int \frac{1}{(x-a)^n}dx = \frac{1}{1-n} \frac{1}{(x-a)^{n-1}}+C$$

二、

$$\int \frac{ax+b}{x^2+px+q} dx = \frac a2\int \frac{d(x^2+px+q)}{x^2+px+q} + (b-\frac{ap}{2})\int \frac{dx}{x^2+px+q}$$
$$=\frac{a}{2}\ln |x^2+px+q| + (b-\frac{ap}2)\int \frac{d(x+\frac p2)}{(x+\frac{p}{2})^2 + (\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2})^2}$$
接下来易做。

三、

$$\int \frac{ax+b}{(x^2+px+q)^n}dx= a\int \frac{d(x^2+px+q)}{(x^2+px+q)^n} + (b-\frac{ap}{2})\int \frac{dx}{(x^2+px+q)^n}$$

$$= \frac a2 \frac1{1-n}\frac{1}{(x^2+px+q)^{n-1}} + (b-\frac{ap}2)\int \frac{dx}{[(x+\frac{p}{2})^2 + (\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2})^2]^n}$$

而我们已经算过：

$$J_n = \int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx$$
的递推公式。因此可以搞出来。

【例1】 求

$$\int \frac{2x}{(x+1)(x^2+1)^2}dx$$
解：可以设 $$\frac{2x}{(x+1)(x^2+1)^2} = \frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^2+1}+\frac{dx+e}{(x^2+1)^2}$$
也就是
$$2x=a(x^2+1)^2 + (bx+c)(x+1) + (dx+e)(x+1)(x^2+1)$$

取$x=-1$，立刻得到$4a=-2,a=-\frac12$
取$x=i$，有$2i=(bi+c)(i+1)$.一次性解出$b=c=1$
取$x=0$，得知$e=-\frac12$
取$x=1$，知$d=\frac12$

$$ans = -\frac12\int \frac{dx}{x+1} + \int \frac{0.5x-0.5}{x^2+1}dx + \int \frac{x+1}{(x^2+1)^2}dx$$

有理三角函数的不定积分

【有理三角函数】$R(\sin x ,\cos x)$是$\sin x,\cos x,C$四则运算得到。

利用万能公式：记$t=\tan \frac x2$，则
$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$
$\sin x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

最后把式子改写成 关于$t$的有理函数即可。

【例1】

$$\int \frac{dx}{1+2\sin x}$$
记$t=\tan\frac x2$，则有$x=2\arctan t$，有$dx = \frac{2}{t^2+1}dt$.
$$ans = \int \frac{\frac{2}{t^2+1}}{1+\frac{4t}{1+t^2}}dt = 2\int \frac{1}{t^2+4t+1}dt$$
$$=2\int \frac{d(t+2)}{(t+2)^2 - (\sqrt 3)^2} = \frac{2}{2\sqrt 3} \ln |\frac{t+2-\sqrt 3}{t+2+\sqrt 3}| +C$$
$$=\frac{\sqrt 3}{3}\ln|\frac{\tan \frac x2 + 2 - \sqrt 3}{\tan \frac x2 + 2+ \sqrt 3}|+C$$

【例2】

$$\int \frac{dx}{\sin 2x + 2\sin x}= \int \frac{dx}{2\sin x (\cos x +1)}$$
记$t=\tan \frac x2,dx=\frac{2}{t^2+1}dt$
$$ans = \int \frac{\frac{2}{t^2+1}dt}{2 \frac{2t}{1+t^2}(\frac{1-t^2}{1+t^2}+1)} = \int\frac{dt}{2t(2-\frac{2t^2}{1+t^2})} = \frac14 \int (t+\frac1t) dt$$

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例题选讲

一、设$\int x^2f(x)dx = \arcsin x +C$,且$x>0$时有$F'(x)=f(x)$.满足$F(1)=0$，则$F(x)=\text{____}$
解：$x^2 f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},f(x)=\frac{1}{x^2\sqrt{1-x^2}}$
$F(x)=\int f(x)dx$.取$x=\sin t$即可知$F(x)=-\cot t +C$
而$F(1)=0$，得到$C=0$

故$F(x)=-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$

二、下列函数中，在区间$[-2,3]$上不存在原函数的是

A. $f(x)=\max\{|x|,1\}$
B. $f(x)=\begin{cases}\frac{\ln(1+x^2)-x^2}{x^4} , &x\neq 0 \\ -\frac12,&x=0\end{cases}$
C. $f(x)=\begin{cases}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2} , &x> 0 \\ 0,&x=0\\\frac{\tan x-\sin x}{x^3}&x<0\end{cases}$

不存在第一类间断点，就存在原函数。依此马上可以选出C。

三、求$\int |x|dx$
分段考虑。最后式子可以合并成：

$$\frac12 x|x|+C$$