12-7 微积分笔记

极坐标下图形面积

考虑图形$\begin{cases}\alpha \leq \theta \leq \beta \\ r_1(\theta)\leq r \leq r_2(\theta)\end{cases}$

$\theta$定义在$[\alpha,\beta]$，面积具有可加性。现在来看能否利用$d \theta$来线性近似$\Delta S$.

给$\theta$一增量$d\theta$，则增加面积可以近似为圆环的一部分，$dS=\frac12 d\theta \cdot (r_2^2(\theta)-r_1^2(\theta))$

因此有：

$$S= \frac12 \int_\alpha^\beta [r_2^2(\theta)-r_1^2(\theta)] d\theta$$

极坐标系下常见曲线

一、$r=a(1-\cos \theta)$
其对应的形状是【心形线】。

对应地，$r=a(1+\cos \theta)$是倒过来。

二、$r^2=a^2\cos 2\theta$
称为【双扭线】。

三、$r=a\sin 3\theta$
称为【三叶玫瑰线】。

$r=a\cos 3\theta$也是三叶玫瑰线，旋转一下即可得到。

四、$r=a\sin 2\theta$
这是【四叶玫瑰线】。

【例1】 求心形线所围图形面积。
解：

$$S=\frac12 \int_0^{2\pi}[a(1-\cos \theta)]^2d\theta$$
$$= \frac{a^2}2 \int_0^{2\pi}(1-2\cos \theta + \cos^2 \theta)d\theta$$
$$= \frac{a^2}{2} \left[ 2\pi - 2\sin\theta\Bigg|_0^{2\pi} + \pi+\frac14 \sin 2\theta\Bigg|_0^{2\pi}\right]$$
$$= \frac{3\pi}2a^2$$

体积的计算

横截面积已知

设一空间体$\Omega$介于两个平行平面$\pi_1,\pi_2$之间。$\pi_1,\pi_2$与$x$轴交点为$a,b$。对于$\forall x\in[a,b]$，过$x$的平行于$\pi_1$的平面截$\Omega$，横截面积已知为$S(x)$.

取$x$，给$x$一个增量$dx$，则$\Delta V\approx dV=S(x)dx$，故

$$V=\int_a^b S(x)dx$$

【例1】设有一正劈椎体，底是以$a$为半径的圆，高为$h$，顶刃宽等于底圆直径。求其体积。
解：其截面是三角形，有$S(x)=\frac12 h \cdot 2\sqrt{a^2-x^2}$，故

$$V=h\int_{-a}^a\sqrt{a^2-h^2}dx=2h\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx$$
$$=\frac\pi 2a^2h$$

旋转体的体积

由$\begin{cases}a\leq x\leq b \\ 0\leq y \leq|f(x)|\end{cases}$绕$x$轴旋转一周的体积$V$.

稍有常识的人都会看出，如果我们按照上文的方法继续前进，这个螳臂当车的问题，难道能够阻挡得了吗？明显有

$$V=\int_a^b \pi f^2(x)dx$$

类似地，$\begin{cases}c\leq y\leq d \\ 0\leq x \leq |g(y)|\end{cases}$绕$y$轴旋转一周的体积是

$$V=\int_c^d\pi g^2(y) dy$$

【例1】 求$x^2+(y-2)^2=1$绕$x$轴旋转一周的体积。
解：为了套上之前的模型，我们考虑算两部分：一部分是上半圆与x轴所围，一部分是下半圆与x轴所围。最后相减即为答案。

$$V=\pi\int_{-1}^1 \left [ (2+\sqrt{1-x^2})^2 - (2-\sqrt{1-x^2})\right ] dx$$
$$= 4\pi^2$$

【例2】 求由$y=xe^x$，坐标轴及$y=e$所围成的图形绕$y$轴旋转一周的体积。
解：明显

$$V=\pi\int_0^e x^2 dy=\pi \int_0^1 x^2(e^x+xe^x)dx$$
后者拆开后分部积分易算。

【例3】 求由$y=x^2,y=x$所围成图形绕$x=e$旋转一周的体积。

$$V=\pi \int_0^1 (e-y)^2dy-\pi\int_0^1 (e-\sqrt y)dy$$

旋转面的面积

取$x$，给$x$一增量。则$dS = 2\pi |f(x)| ds$，其中s是这一小条对应的曲线长度。
而$ds = \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$

故有

$$S = \int_a^b 2\pi |f(x)| \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$