10-22 微积分习题课

基础知识

一、设$x_n\leq a\leq y_n,\lim_{n\to \infty}(y_n-x_n)=0$,则$x_n$与$y_n$
A. 都收敛于$a$
B. 收敛，不一定收敛于$a$
C. 可能收敛可能不收敛
D. 不收敛

此题选A。

考虑$p_n = y_n-a$，有$0\leq p_n \leq y_n-x_n\to 0$，故$p_n\to 0$.$y_n$收敛于$a$.
$x_0$同理可证。

二、设$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$均非负，$n\to \infty$时$a_n\to 0,b_n\to1,c_n\to\infty$，则
A. $\forall n ,a_n<b_n$
B. $\forall n ,b_n < c_n$
C. $\lim a_n\cdot c_n$不存在
D. $\lim b_n\cdot c_n$不存在

此题选D.
A，B均系无稽之谈，C可以举反例$a_n=1/n,c_n=n$。
D可以反证法证明：假设$\lim b_n\cdot c_n$存在，则根据极限的四则运算，既然$b_n$极限存在，$c_n$极限也存在。然而$c_n\to \infty$，挂了。
也可以利用定义证明。

三、$x_n$收敛于$A$，等价于
A. $\forall \epsilon > 0, (a-\epsilon,a+\epsilon)$内有数列的无穷多项。
B. $...$，在$(a-\epsilon,a+\epsilon)$内有数列的有限项。
C. $...$，在$(a-\epsilon,a+\epsilon)$外有数列的有限项。
D. $...$，在$(a-\epsilon,a+\epsilon)$外有数列的无穷多项。

此题选C，根据定义即可得。下面举反例：
A. $x_n=(-1)^n$，取$a=1$，满足条件而不收敛。
B. 无稽之谈
D. 无稽之谈。反例：$x_n=(-1)^n$

四、下列命题正确的是：
A. 若$f(x)$在$x_0$处连续，$g(x)$在$x_0$处不连续，则$f(x)+g(x)$在$x_0$处可能连续。
B. 若$f(x)$在$x_0$处连续，则$\frac{1}{f(x)}$在$x_0$处也连续。
C. 若$f(x)$在$x_0$处连续，则$|f(x)|$在$x_0$处也连续。
D. 若$|f(x)|$在$x_0$处连续，则$f(x)$在$x_0$处也连续。

此题选C.
A. $f(x^+)+g(x^+)=f(x)+g(x^+)$，而$f(x^-)+g(x^-)=f(x)+g(x^-)$，由于$g(x^+)\neq g(x^-)$，故矛盾。
B. $f(x)=0$时挂了。
D. $x\leq 0$时$f(x)=x-1$，$x>0$时$f(x)=x+1$，$|f(x)|$连续而$f(x)$不连续。

五、设$x_n$为单调数列，$x_n\neq 0$，则以下不成立的是：
A. $x_{2n}$收敛时，必有$x_n$收敛。
B. $x_{2n}$有界时，必有$x_n$收敛。
C. 若$\forall y_n\to 0$，有$x_ny_n\to 0$，则$x_n$收敛。
D. $\lim \frac{x_{n+1}}{x_n}=1$时，必有$x_n$收敛。

选D。反例：$x_n=n$.
现在来证明C。只需要证$x_n$有界。
现在假设$x_n$无界，由于$x_n$单调，故$x_n \to \infty$。不妨取$y_n=1/x_n$，则$x_ny_n \to 1$，挂了。假设不成立。

六、设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$单调有界，$\{x_n\}$是数列。下面命题正确的是：
A. 若$x_n$收敛，则$\{f(x_n)\}$收敛。
B. 若$x_n$单调，则$\{f(x_n)\}$收敛。
C. 若$\{f(x_n)\}$收敛，则$x_n$收敛。
D. 若$\{f(x_n)\}$单调，则$x_n$收敛。

此题选B.$x_n$单调则$f(x_n)$亦单调，而$f(x)$有界，故数列$\{f(x_n)\}$单调有界必收敛。

A. 反例：造个$x=0$处是跳跃间断点的函数，让$x_n$在$0$附近振荡，就完蛋了
C,D. 反例：$f(x)$为Sigmoid函数，$x_n=n$

极限的计算

一、

$$\lim_{x\to 1}\frac{x^x-x}{\ln x - x +1}$$
解： $$ans=\lim \frac{x (x^{x-1}-1)}{\ln x - x + 1}=\lim \frac{x^{x-1}-1}{\ln x - x + 1}=\lim\frac{(x-1)\ln x}{\ln x - x +1}$$
$$=\lim \frac{(x-1)\ln(x+1-1)}{\ln x - x +1}=\lim\frac{(x-1)^2}{\ln x -x-1}=\lim\frac{2(x-1)}{\frac1x -1}=\lim\frac{2x^2-2x}{1-x}=\lim\frac{4-2}{-1}=-2$$

二、
知

$$\lim_{x\to 0} [1+\frac{f(x)}{4^x -1}]^{\frac{1}{\ln \cos x}}=2$$
求 $$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x^3}$$

解：

$$e^{\lim \frac{[1+\frac{f(x)}{4^x -1}]}{\ln\cos x}}=e^{\ln 2}$$
分母$\to 0$，分子也只能$\to 0$
故：$\lim \frac{f(x)}{4^x-1}=0$，原式属于$1^\infty$型。

故：

$$e^{\frac{f(x)}{4^x-1}\cdot \frac{1}{\ln \cos x}}=2$$
所以$\lim \frac{f(x)}{4^x-1}\cdot \frac{1}{\ln \cos x}=\ln 2$.

现在考虑目标式。$\lim \frac{f(x)}{x^3}\cdot \frac{x^3}{\ln \cos x}\cdot \frac{1}{4^x -1}=\ln 2$
故$\lim \frac{f(x)}{x^3} \cdot \lim \frac{x^3}{(4^x-1)\ln \cos x} = \ln 2$
后者容易求出，由此可以知道前者的值。