10-8 微积分笔记

求导法则

四则

$[f(x)\pm g(x)]' = f'(x)+g'(x)$
$[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
$[\frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$（每人导一次）

复合

$\{[f[g(x)]\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

【例1】 计算

$$\frac{d}{dx} \sin(\log_a\arctan^2x)$$
解： $$ans=\frac{1}{\arctan^2 x \ln a}\cdot2\arctan x\cdot \frac{1}{1+x^2}$$

【例2】 计算

$$e^{x^2+x}+\sin(\ln x)+\ln(x+\sqrt{x^2+x})$$
解：
$$ans=e^{x^2+x}(2x+1)+\cos(\ln x)\frac{1}{x} + \frac{1}{x+\sqrt{x^2+x}}(1+\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}})$$

指幂函数的求导

考虑$y=f(x)^{g(x)}$.求$y'$.

取对数，有$y = e^{g(x)\ln f(x)}$

故$y'=e^{g(x)\ln f(x)} [g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}]=f(x)^{g(x)}[g(x)\ln f(x)]'$

【例1】求

$$\left [\sqrt[5]{\frac{(x^2+1)(x^3+1)}{(x^4+1)(x^5+1)}}\right]'$$
解：可令$f(x)$为原式根号内部分，$g(x)=1/5$。则有：
$$ans = \sqrt[5]{\square} [\frac{1}{5} (\ln(x^2+1)+\ln(x^3+1)-\ln(x^4+1)-\ln(x^5+1))]'$$
其中$\square$照抄原式。接下来容易搞了。

【例2】

$$(x^x)'=x^x (x\ln x)'=x^x(\ln x +1)$$
$$(x^{x^x})'=x^{x^x}(x^x \ln x)' = x^{x^x}[x^x(\ln x +1)\ln x + x^{x-1}]$$

反函数求导

已知$y=f(x)$可导，$f'(x)$已知，且$f'(x)\neq 0$。$x=g(y)$是$y=f(x)$的反函数。

则：

$$g'(y)=\frac{dx}{dy}=(\frac{dy}{dx})^{-1}=\frac{1}{f'(x)}$$

其中利用了$dy\to 0$时$dx\to 0$（因为$f'(x)$定义基于$dx\to 0$）。这是因为：$f(x)$连续则$g(x)$连续，故$dy\to 0,dx\to 0$.
另一种理解方式：既然可导则极限存在，由于已知$f'(x)\neq 0$，故$dx$与$dy$为同阶无穷小。故$dy\to 0,dx\to 0$.

由于$x=g(y)$，我们可以把原式右边的$x$改成$g(y)$。
由此我们得到最终结论：

$$g'(x)=\frac{1}{f'[g(x)]}$$

反函数的导数，即为原函数对应点导数的倒数。

【例】

$$\arcsin'(x) = \frac{1}{\cos(\arcsin x)}$$
记$y=\arcsin(x)$，则$x=\sin y$.
$$\arcsin'(x)=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y }}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

参数方程求导

已知$x=\varphi(t),y=\psi(t)$.已知$\varphi'(t),\psi'(t)$且$\varphi'(t)\neq 0$，求$\frac{dy}{dx}$.

我们有：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$

现在把左边$x$改成$\varphi(t)$，则有：
$\frac{dy}{d\varphi(t)}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$
现在自变量都是$t$了。

【例1】 $x=\arctan(t^2),y=t^3+xt+e^t$ 求 $dy/dx$.
略。
【例2】 求椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$在$(\sqrt 3 ,\frac32)$处的切线方程。
解：$x=2\cos t,y=3\sin t$，故$\frac{dy}{dx}=\frac{3\cos t}{-2\sin t}$，其中$x=2\cos t$.
在$(\sqrt 3 ,\frac32)$处，$t=\pi/6$，故$\frac{dy}{dx}=\frac{3\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{-2\cdot \frac12}=-\frac{3\sqrt3}{2}$
参数方程：$y-\frac32 = \frac{3\sqrt3}{2}(x-\sqrt3)$

隐函数求导

以刚才的椭圆为例。

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$$
左右同时对$x$取导数，有：

$$\frac{d}{dx}\frac{x^2}{4}+\frac{d}{dx}\frac{y^2}{9}=0$$
即
$$\frac{x}{2}+\frac{2y}{9} \frac{dy}{dx}=0$$
故$y'=\frac{9x}{4y}$.

【例1】 知$x e^{\sin y}=e^y$，求$y'$.
解：两边同时关于$x$取导数

$$e^{\sin y}+xe^{\sin y}\cos y \cdot y' = e^y \cdot y'$$
整理得
$$y'=\frac{e^{\sin y}}{e^y(1-\cos y)}$$

【例2】 设$x^3y^2 - 3x^2y +x+1=0$，求$y'|_{x=1}$
解：左右同时关于$x$求导，有：

$$3x^2y^2+x^32y\cdot y' - 6xy-3x^2\cdot y' +1 = 0$$
由于$x=1$时$y=1$或$2$，可以得到
$$y'|_{x=1,y=1}=\square ,y'|_{x=1,y=2}=\triangle$$

【例3】$y=f(\frac{3x+2}{3x-2}),f'(x)=\arcsin(x^2)$，求$\frac{dy}{dx}|_{x=0}$
解：记$u=\frac{3x+2}{3x-2}$，有：

$$ans=\arcsin(u^2)\frac{du}{dx} |_{x=0}=\arcsin(1)\cdot (-3)=-\frac{3}{2}\pi$$

【例4】 设$f(x)=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)$，求$f'(0)$.
解：直接求导，容易发现$f'(0)=n!$
也可以利用导数的定义：

$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=n!$$

高阶导数

【定义1】 设$y=f(x)$可导，若$y'$可导，则称$(y')'$为$y$的二阶导数，记为$y''=\frac{d^2y}{dx^2}=f''(x)$

如果$y''$可导，则将其导数称为$y$的三阶导数$\frac{d^3y}{dx^3}$。依此类推。

$y$的$n$阶导表示为：$y^{(n)}=\frac{d^ny}{dx^n}=f^{(n)}(x)$

特别地，定义$y^{(0)}=y$.