12-17 微积分笔记

一阶微分方程：

• 可分离变量 $y'=P(x)Q(y)$：把$Q(y)$除过去，两边求积分。
• $y'=P(x)y+q(x)$
  
  • $q(x)\equiv 0$: 齐次，$y=c e^{\int P(x)dx}$
  • $q(x)\neq 0$:非其次，$y=e^{\int P(x)dx}(c+\int q(x)e^{-\int p(x)dx}dx)$
• $\frac{dy}{dx} = P(y)x+q(y)$: $x = e^{\int P(y)dy}(c+\int q(y)e^{-\int p(y)dy}dy)$
• 可换元
  
  • $y'=f(\frac yx)$ 令$u=\frac yx$然后换元
  • 伯努利方程 $y' = P(x)y+q(x)y^\lambda$ 令$u=y^{1-\lambda}$即可换元
  • 其它类型

可降阶的高阶微分方程

主要手段：通过换元，将高阶微分方程降为一阶。

【情况1】$y^{(n)}=f(x)$

只需要不停地求不定积分即可得到。

$y^{(n-1)}=\int f(x)dx +c_1$
$y^{(n-2)} = \int(\int f(x)dx)dx + c_1 x + c_2$
$\dots$

【例1】 求解

$$y^{(n)} = e^x + e^{-x}$$
解：不停地求不定积分，最后得到
$$y = e^x + (-1)^n e^{-x} + c_1 x^{n-1}+c_2 x^{n-2}+\cdots +c_n$$

【情况2】 $F(x,y^{(n-1)},y^{(n)})=0$
这个记号表示方程是关于$x,y^{(n-1)},y^{(n)}$的。

处理方法：我们取$u=y^{(n-1)},u'=y^{(n)}$换元，则转化成了$F(x,u,u')=0$.

【例2】 求解$xy'''=y''+x^2e^x$
解：取$u=y''$

$$xu' = u + x^2e^x \\ u' = \frac1x u + xe^x$$
这是一阶线性形式。
$$u=e^{\int\frac1x dx}(c+\int xe^x \cdot e^{-\int \frac1x dx}dx)=x(c+e^x)$$
从而
$$y '' = x(c_1+e^x) \\ y' = c_1 x^2 + (x-1)e^x +c_2 \\ y = c_1 x^3 + (x-2)e^x +c_2x+c_3$$

【情况3】 $F(y,y',y'')=0$
令$u=y'$，则$y'' = \frac{du}{dx}$
方程转化为$F(y,u,\frac{du}{dx})$
方程里面有三个自由未知量，搞不成。因此把$\frac {du}{dx}$转化掉：
$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}$

方程转化为$F(y,u,u\frac{du}{dy})$
现在只含$y,u$两个自由变量，而且是一阶的，可以解出来了。

【例3】求解$y''+y=0$.
我们取$u=y',y''=u\frac{du}{dy}$

$$u\frac{du}{dy} + y=0 \\ udu = -ydy \\ \int udu = -\int ydy \\ \frac12 u^2 = -\frac12 y^2 + c_1$$
也就是
$$u^2+y^2=c_1^2$$
这里写成$c_1^2$是为了接下来方便。
$u = \pm \sqrt{c1^2 - y^2} = \frac{dy}{dx}$
从而
$$\int \frac{1}{\sqrt{c_1^2 - y^2}}dy = \int \pm dx \\ \arcsin \frac{y}{c_1} = \pm x + x_2$$
也可以写成
$$y=c_1 \sin(c_2\pm x)$$

微分方程的应用

【例1】 现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700 km/h，经测试，飞机减速伞打开之后，飞机所受的阻力与飞机速度成正比($k=6.0 * 10^6$)，问：从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

解：$f=kv(t)=ma$，故$a(t)=-\frac km v(t)$
而$\frac{d}{dt}v(t)=a=-\frac{k}{m}v(t)$

由此有$d v(t)=-\frac{k}{m}v(t)dt$
两边积分,$v(t)=-\frac km s(t)+c$
又有$v(0)=v_0=700 km/h$，故$c=v_0$
$v(t)=0$时，有$\frac{k}{m}s(t)=v_0$

从而$s(t)=700*9000/(6*10^6)=1.05 km$

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另解：$f=kv(t)=ma$，故$a(t)=-\frac km v(t)$

$$\frac{dv}{v}=-\frac km dt \\ \ln |v|=-\frac km t + c \\ v=\pm e^c e^{-\frac km t} = c e^{-\frac km t}$$
已知$v(0)=700$，得到$c=v_0=700 \text{km}$，$v(t)=v_0 e^{-\frac km t}$

$$S_{max} = \int _0^{+\infty} v_0 e^{-\frac km t}dt = v_0 (-\frac km)e^{-\frac kmt}\Bigg |_0^{+\infty}\\=\frac{m v_0}{k} = 1.05km$$