11-5 微积分笔记

函数的图像

利用微积分来研究函数性质，一般叫做“分析性质”。

函数的重要性质：定义域、奇偶性、周期性、连续性、间断点、单调性、极值和最值、凹凸性（以怎样的形式上升或下降）、渐近线。

凹凸性

对于可导函数而言，一个上凸函数，任意一点的切线，一定在曲线上方。
下凸则反之：切线在曲线下方。

但是有些函数不可导，在有些点没有切线。我们转而考虑两个点的连线（弦）：

上凸函数，弦在曲线下方。
下凸函数，弦在曲线上方。

转换为相应的数学语言：

函数$f(x)$上凸，则$\forall x\in [x_1,x_2](x_1<x_2): f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} (x-x_1) \leq f(x)$
左边是弦方程的点斜式。上式变形即得

$$\frac{x_2-x}{x_2-x_1}\cdot f(x_1) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(x_2) \leq f(x)$$

由$x_1\leq x \leq x_2$，变形得：

$$\lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) \leq f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \qquad , \forall \lambda \in [0,1]$$

【定义】设$y=f(x)$在$I$上连续。$\forall x_1,x_2\in I,x_1\leq x \leq x_2$，都有

$$f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1) \leq f(x)$$
或者，等价地
$$\lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) \leq f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \qquad , \forall \lambda \in [0,1]$$
则称$y=f(x)$是上凸函数，$I$是其上凸区间。

凹凸性的鉴别

设$f(x)$在$I$可导。则：$f(x)$上凸，等价于$f'(x)$递减。
下凸反之。

这是一个很好用的判别方法。下面尝试证明之。

pf. 【从左到右】$\forall x\in [x_1,x_2]$，有$f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1) \leq f(x)$
变形式子，即有

$$\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} \geq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$
$x\to x_1$时两边取极限
$$f'(x_1) \geq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$
$x\to x_2$时取极限
$$f'(x_2) \leq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

故有$f'(x_1) \geq f'(x_2)$

我们可以给出另一种定义：函数上凸，当且仅当

$$\frac{f(x)-f(x_2)}{x-x_2} \geq \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$$

【从右到左】 现在我们有导函数递减，求证

$$\frac{f(x)-f(x_2)}{x-x_2} \geq \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$$
采用拉格朗日中值定理，即证
$$f'(\xi_1) \geq f'(\xi_2) \quad ,x_1<\xi_1<x<\xi_2<x_2$$
而我们有$f'(x)$递减，故恒有$f'(\xi_1) \geq f'(x_2)$.

【推论】 若$y=f(x)$在$I$二阶可导，则$f(x)$在$I$上凸，等价于$\forall x\in I,f''(x)\leq 0$.

【定理2】 设$f(x)$在$I$可导，$f(x)$上凸 等价于 切线恒在曲线上方。

pf. 【从左到右】切线方程：$y=f(x_1)+f'(x_1)(x-x_1)$

$$f(x)-y = f(x)-f(x_1)-f'(x_1)(x-x_1) = (x-x_1)[f'(\xi_1)-f'(x_1)] \leq 0$$
【从右到左】$f(x)\leq f(x_1)+f'(x_1)(x-x_1)$，即$\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} \leq f'(x_1)$
取$x=x_2$，则有$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \leq f'(x_1)$
取$x=x_1$，类似地有$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\geq f'(x_2)$

故$f'(x_1)\geq f'(x_2)$，则$f'(x)$递减。函数上凸。

结论

设$y=f(x)$二阶可导，那么以下表述等价：

1. 上凸/下凸的原始定义
2. $f'(x)$递减/递增
3. $f''(x)\leq 0$/$f''(x)\geq 0$
4. 切线在曲线的上/下方

拐点

设$y=f(x)$早$x_0$连续，左右邻域凹凸性改变，则称$(x_0,f(x_0))$为拐点。

求拐点的方法：

Step1. 求$f''(x)=0$或不存在的点
Step2. 判断上面$f''(x)$的符号

【例1】 求$f(x)=x^4+2x^3-12x^2+x-1$的凹凸区间及拐点。
解：我们有$f''(x)=12x^2+12x-24$，随便搞一搞就出来了。拐点是$-2,1$
【例2】 设$f(x)$在$x_0$五阶可导，$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^5}=1$，则（ ）
A. $f(x_0)$是极大值
B. $f(x_0)$是极小值
C. $(x_0,f(x_0))$是拐点
D. $f(x_0)$不是极值，$(x_0,f(x_0))$也不是拐点
解：显然$f(x_0)=0$，另外$f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots =f^{(4)}(x_0)=0,f^{(5)}(x_0)=120$
四阶导由负到正，三阶导一直为正；二阶导从负到正，一阶导一直为正。故$x_0$是$f''(x)$的变号零点，而$x_0$是$f'(x)$的不变号零点。
故$x_0$是拐点，不是极值点。

【推论】本题
$n$是偶数：是极值，不是拐点
$n$是奇数：是拐点，不是极值

思考题：一个点能不能既是极值，又是拐点？