9-26微积分笔记：导数与微分

实际问题

【例1】 设物体做变速直线运动，设位移与时间的关系$S(t)$，求$t_0$时刻物体的瞬时速度。

解：考虑一个小时间段$[t_0,t_0+\Delta t]$，我们可以求出其平均速度：$\bar v = \frac{S(t_0+\Delta t)-S(t_0)}{\Delta t}$

而瞬时速度即为$\Delta t \to 0$时的平均速度。即：

$$v(t_0) = \lim _{\Delta t \to 0} \frac{S(t_0+\Delta t)-S(t_0)}{\Delta t}$$

【例2】 求曲线$y=f(x)$在$M_0(x_0,y_0)$处的切线斜率。

我们在曲线上取$M$，作$M$与$M_0$的连线，这是曲线的割线。当$M$越来越靠近$M_0$，则此割线的斜率趋向于切线斜率。故有：

$$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

导数

导数的定义

设$y=f(x)$在$x_0$的邻域内有定义，若存在极限

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
则称此极限为$y=f(x)$在$x_0$处的导数，或称微商（$\Delta y / \Delta x$称为差商，在增量趋向于$0$时为微商），记作$\frac {dy}{dx} | _{x=x_0}$或$f'(x_0)$或$y'|_{x=x_0}$.
此时称$y=f(x)$在$x_0$处可导，或右导数$f'_+(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac {\Delta y}{\Delta x}$等于左导数$f'_-(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac {\Delta y}{\Delta x}$.

导数的意义

$f'(x_0)$表示$y=f(x)$在$x_0$处的变化率。
物理意义：$s'(t)=v(t),v'(t)=a(t)$.

几何意义：$f'(x_0)$表示曲线$y=f(x)$在$(x_0,f(x_0))$处的切线斜率。

【例1】 求$y=x^2$在$(1,1)$处的切线和法线方程。
解：$f(x)=x^2$.

$$f'(1)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=2$$

故切线斜率为$2$，法线斜率为$-1/2$.因此
切线方程为：$y-1=2(x-1)$
法线方程为：$y-1=-\frac 1 2 (x-1)$

可导与连续的关系

可导必定连续。
因为：$dy=\frac {dy}{dx}\cdot dx = f'(x_0) dx=0$，必定连续。

连续未必可导。
e.g. $y=|x|$在$x=0$处连续而不可导。