11-20 微积分笔记

分部积分，常用的方法是：

一、 $\int$对$dx$,$\int$反三角$dx$,取$dx$用来求原函数。
二、 $\int$幂$\cdot$对$dx$,$\int$幂$\cdot$反三角$dx$,取幂函数来求原函数。
三、 $\int$正整幂$\cdot$指$dx$,$\int$正整幂$\cdot$三角$dx$,取正整幂来求导数，因为导几次就变成常数了。e.g. $\int x^2\sin xdx$可以照此处理。

$$\int x^3e^xdx = \int x^3d(e^x)=x^3d^x-3\int e^x x^2dx$$
其中 $$\int e^xx^2dx=\int x^2d(e^x)=x^2e^x - 2\int xe^xdx +C$$
其中 $$\int xe^x dx = \int xd(e^x)=xe^x-e^x$$
$$ans = x^3e^x - 3x^2e^x + 6xe^x -6e^x +C$$

四、$\int$指$\cdot$三角$dx$：取三角函数来求积分，两次之后形成方程。解出来就行了。

取三角函数来求导也可以。下面是个例子：

$$ans = \frac12\int \sin x d(e^{2x})=\frac12[e^{2x}\sin x-\int e^{2x}\cos x dx]$$
其中 $$\int e^{2x}\cos x dx = \frac12 \int \cos x d(e^{2x}) = \frac12[e^{2x}\cos x + \int e^{2x}\sin x dx]$$

另举一例：

$$\int \cos\ln x dx = x\cos \ln x - \int x d\cos\ln x$$
$$=x\cos \ln x + \int (\sin \ln x)dx$$
$$=x\cos\ln x + x\sin\ln x - \int \cos\ln x dx$$
即形成方程。

五、不同类函数因子之积

$$\int x\cdot\arctan x \cdot\ln(1+x^2) dx$$
令$dv=x\arctan x dx,u=\ln(1+x^2)$
则有$du=\frac{2x}{1+x^2}dx$
$$v=\int x\arctan x dx= \frac12\int \arctan x d(x^2+1)$$
$$=\frac12 (x^2+1)\arctan x - \frac12 x + C$$

故$ans = \int udv = uv - \int vdu$

$$=\frac12[(x^2+1)\arctan x - x]\ln(1+x^2) - \int \frac{x}{1+x^2}[(x^2+1)\arctan x -x ]dx$$
$$=\dots - \int(x\arctan x - \frac{x^2+1-1}{1+x^2}) dx$$

六、含有$n$的，得出递推公式

【例1】下面的步骤有问题！！

$$\int \sec^n x dx\quad (n\geq 2)$$
$$=\int \sec^{n-2}d\tan x=\sin x \sec^{n-1}x - \int \tan x d(\sec^{n-2})$$
$$=\sin x \sec^{n-1}x + \frac1{n-2} \int \tan x \sec^{n-1} x (-\sin x)dx$$
$$=\sin x \sec^{n-1}x - \frac1{n-2}\int \sec^n x(1-\cos^2 x)dx$$
记$ans=J_n$，则有
$$J_n= \frac{\sin x}{\cos^{n-1}x} - \frac{1}{n-2} J_n + \frac{1}{n-2}J_{n-2}$$
整理得递推公式：
$$J_n = \frac{n-2}{n-1}\frac{\sin x}{\cos^{n-1} x} + \frac1{n-1}J_{n-2}$$

【例2】

$$J_n = \int \frac1{(a^2+x^2)^n}dx$$

$$= \frac{x}{(a^2+x^2)^n} + 2n \int \frac{x^2+a^2-a^2}{(a^2+x^2)^{n+1}}dx$$

$$= \frac{x}{(a^2+x^2)^n} + 2n\cdot J_n -2n a^2 \cdot J_{n+1}$$

整理得

$$J_{n+1}=\frac{x}{2na^2 \cdot (a^2+x^2)^n} + \frac{2n-1}{2na^2} J_n$$

特别地，有

$$J_1=\int \frac{1}{a^2+x^2}dx= \frac1a\arctan\frac xa+C$$

七、抽象函数的不定积分

【例1】 设$f(x),g(x)$互为反函数。$F'(x)=f(x)$.求$\int g(x)dx$.

设$y=g(x)$，则$x=f(y)$.

$$\int g(x)dx = \int ydx = xy - \int f(y)dy = xy - F(y)+C$$
$$=xg(x) - F(g(x)) +C$$

【例2】 $f(x),g(x)$在$[a,b]$二阶可导，$g'(x)\neq 0$.已知$f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$.求证：$\exists \xi \in (a,b)$，使得$\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f''(\xi)}{g''(\xi)}$

等价于$f(\xi)g''(\xi) - g(\xi)f''(\xi) = 0$.
尝试利用罗尔定理。那就要构造$F(x)$，使得$F'(x)=f(\xi)g''(\xi) - g(\xi)f''(\xi)$.

现在我们直接求积分：

$$F(x)=\int f(x)d[g'(x)] - \int g(x)d[f'(x)]$$
$$=f(x)g'(x) - g(x)f'(x) +C$$
取$C=0$，可以构造

$$F(x) = f(x)g'(x) - g(x)f'(x)$$
利用罗尔定理，立即证毕。

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考虑不定积分$\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx$，$P(x),Q(x)$是多项式。将$\frac{P(x)}{Q(x)}$称为有理函数。

分子次数大于等于分母次数，则此分式为假分式。
若分子次数小于分母次数，则此分式为真分式。

$$\frac{x^3+1}{x-1} = x^2+x+1 + \frac{2}{x-1}$$

所有的假分式可以化为多项式+真分式。

根据代数中的结论，可以把真分式化成三种形式的分式（最简分式）之和：

$$\frac{1}{(x+a)^n},\frac{1}{x+a},\frac{ax+b}{x^2+px+q},\frac{ax+b}{x^2+px+q}$$

其中满足$x^2+px+q$无法再分解，也就是说$p^2-4q <0$.

第一、二两种情况很简单。

$$\int \frac{dx}{(x+a)^n} = \int \frac{d(x+a)}{(x+a)^n}$$