11-7 微积分笔记

渐近线

【定义】直线$l$是曲线$y=f(x)$的一支$\Gamma$的渐近线：当曲线离原点越来越远时，离$l$越来越近。

一般渐近线 （渐近线有斜率） e.g. 双曲线
垂直渐近线 （渐近线无斜率） e.g. $y=\ln x,y=\tan x$

求垂直渐近线

渐近线是$x=c$，其中$c$是$y=f(x)$的间断点或区间端点。
只需要$f(x^+)=\infty$或$f(x^-)=\infty$.

求一般渐近线

渐近线是$y=ax+b$。特殊地，若$a=0$，称为水平渐近线。

不妨考虑$x\to+\infty$时。$-\infty$同理。由定义我们有

$$\lim_{x\to+\infty}[f(x)-ax-b] = 0$$
同时除以$x$：
$$\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)-ax}{x} = 0$$
故渐近线斜率为：$a=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$和$\lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}{x}$
相应地，$b=\lim f(x)-a(x)$，可以求出各自的$b$.

【例1】 求$f(x)=\frac{1+e^x}{1-e^x}$的渐近线。
解：$x=0$是其间断点。注意到$f(0^-)=\infty,f(0^+)=\infty$，故$x=0$是其垂直渐近线。
接下来考虑一般渐近线。$x\to +\infty$时，$f(x)/x \to 0$，由此可知$a=0$，从而$b=\lim f(x) = -1$。故$y=-1$是其水平渐近线。
类似地考虑$x\to-\infty$的情形，知$y=1$是其水平渐近线。

曲率

取一水平线，与曲线交于两点；这两个交点各取切线，与水平轴的夹角记为$\alpha_1,\alpha_2$。则$\alpha_2-\alpha_1$的补角记为$\Delta \alpha$，两点距离为$\Delta S$，则曲率

$$K=|\frac{\Delta \alpha}{\Delta S}| , K_{M_0}=|\lim_{x\to x_0} \frac{\Delta \alpha}{\Delta S}|$$
前者是区间上的曲率，后者为单点曲率。

曲线弧长

设有曲线$S(x),x\in [a,b]$.
简单：可以用$y=f(x)$表示
连续：$y=f(x)$连续
可度：$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\overset{\frown}{M_0M_1}}{\overline{M_0M_1}} = 1$

则$\Delta S = S(x+\Delta x)-S(x)$

$S'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta S}{\Delta x} = \lim \frac{\overset{\frown}{M_0M_1}}{\overline{M_0M_1}} \cdot \frac{\overline{M_0M_1}}{\Delta x}=\lim \frac{\sqrt{(\Delta x )^2+(\Delta y)^2}}{\Delta x} = \lim \sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}$
只需要$y$对$x$可导，就有
$S'(x) = \sqrt{1+(\lim \frac{\Delta y}{\Delta x})^2} = \sqrt{1+(y')^2}$

亦有

$$ds = \sqrt{1+(y')^2} dx \qquad (dx>0)$$

这是弧微分公式。

【参数方程形式】$y=\phi(t),x=\mu(t)$，则

$$ds = \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx=\sqrt{1+[\frac{\phi'(t)}{\mu'(t)}]^2} \mu'(t) dt = \sqrt{[\phi'(t)]^2+[\mu'(t)]^2} dt$$

利用参数方程，可以给出极坐标形式：

【极坐标形式】

$$ds = \sqrt{(\rho')^2 + \rho^2} d\theta$$
其中$\rho(\theta)$可导。

切线斜率

回去看曲率公式，我们已经确定了$dS$，现在来找$d\alpha$.

由于$y'=\tan \alpha$，故$\alpha = \arctan y'$，故

$$d\alpha = \frac{1}{1+(y')^2}dy' = \frac{y''}{1+(y')^2} dx$$

因此：

$$K = |\frac{\frac{y''}{1+(y')^2}dx}{\sqrt{1+(y')^2}dx}| = |\frac{y''}{(1+(y')^2)^{3/2}}|$$